L1-线性代数的几何表示-习题集

参考

问题 1.1

寻找列向量 $\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}$ 使得线性组合 $x_{1}w_{1} + x_{2}w_{2} + x_{3}w_{3}$ 为零向量

\begin{aligned} w1= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, w2=\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}, w3= \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix} \end{aligned}

提示

由于 $w1+w3-2w2=0$ 所以这些三维向量在三维空间 Three-dimensional space 中只是「占据」一个平面，则由这些列向量组成的矩阵是不可逆的。

将矩阵和向量转换为方程式

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x+4y+7z=0\dots (1)\\ 2x+5y+8z=0\dots (2)\\ 3x+6y+9z=0\dots (3) \end{matrix}\right. \end{aligned}

将 $2(1) - (2)$ 得到 $y=-2z$ 将上述结果代回 $(1)$ 得到 $x=z$

因此如果令 $x=1$ 则可以得到其中一种解（由于系数列向量组成的矩阵是不可逆/奇异矩阵，即没有唯一解，有无穷多的解）

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-2\\ z=1 \end{matrix}\right. \end{aligned}

矩阵与向量相乘

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1&2 &0 \\ 2& 0&3 \\ 4& 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

使用列形式，向量的各数作为系数，分别与矩阵相应列相乘，再相加

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1&2 &0 \\ 2&0 &3 \\ 4&1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} &= 3\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} + -2\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 3\\ 6\\ 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4\\ 0\\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1\\ 9\\ 11 \end{bmatrix} \end{aligned}

使用行形式，向量分别与矩阵的每一行相乘（点乘），结果作为向量的每个元素的值

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1&2 &0 \\ 2&0 &3 \\ 4&1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\times 3+2\times (-2)+0\times 1\\ 2\times 3+0\times (-2)+3\times 1\\ 4\times 3+1\times (-2)+1\times 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1\\ 9\\ 11 \end{bmatrix} \end{aligned}

对于两个矩阵运算，A 是一个 $3\times 2$ 矩阵，B 是一个 $2\times3$ 矩阵，它们相乘获得的 AB 是一个 $3\times 3$ 矩阵，请判断真假

以上等式是 True 真的，矩阵相乘应该满足 $A_{m\times n} \times B_{n\times p} = AB_{m\times p}$

即矩阵相乘应该满足两个规则