L2-矩阵消元-习题集

参考

问题 2.1

使用矩阵消元法求解方程组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 2x+3y=5 \\ 6x+15y=12 \end{matrix}\right. \end{aligned}

如果要消去第二个等式的未知数 $x$ ，需要将第一个等式乘 $3$ ，再用第二个等式与之相减。

以矩阵形式 $Ax=b$ 表示方程组

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&3 \\ 6&15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 5\\ 12 \end{bmatrix} \end{aligned}

因此增广矩阵为

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&3 &{\color{Red} 5} \\ 6&15 &{\color{Red} 12} \end{bmatrix} \end{aligned}

因此消元矩阵为

\begin{aligned} E_{21} &= \begin{bmatrix} 1&0 \\ -3&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

因此消元矩阵与增广矩阵相乘得到

\begin{aligned} E_{21}(A|B) &= \begin{bmatrix} 1&0 \\ -3&1 \end{bmatrix} \end{aligned} \begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&3 &{\color{Red} 5} \\ 6&15 &{\color{Red} 12} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2&3 &{\color{Red}5} \\ 0&6 &{\color{Red}-3} \end{bmatrix} \end{aligned}

相应的上三角矩阵（主元用绿色标注）

\begin{aligned} U &= \begin{bmatrix} {\color{Green}2}&3 \\ 0&{\color{Green}6} \end{bmatrix} \end{aligned}

将增广矩阵「复原」为方程组形式

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 2x+3y=5 \\ 6y=-3 \end{matrix}\right. \end{aligned}

因此方程组的解为

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x=\frac{13}{4} \\ y=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}

求出一个三角矩阵 $E$ 使得相乘后，使得帕斯卡矩阵变为更小的 Pascal

\begin{aligned} E \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} &= P^{'} \end{aligned}

提示

帕斯卡矩阵 Pascal’s matrix是以组合数为元素的矩阵。

哪一个矩阵 $M$ （可以看作由多个消元矩阵 $E$ 整合得到）与帕斯卡矩阵相乘后可以得到单位矩阵 $I$

基于行向量与矩阵相乘的角度考虑，可以写出三角矩阵

\begin{aligned} E &= \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

同样基于行向量与矩阵相乘的角度考虑，可以得到另一个消元矩阵，使得第二个主元 pivot 形式成立

\begin{aligned} E^{'} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

即另一个消元矩阵 $E^{'}$ 与帕斯卡矩阵 $P^{'}$ 相乘可以得到

\begin{aligned} E^{'}P^{'} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Red}1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} &= p^{''} \end{aligned}

继续基于行向量与矩阵相乘的角度考虑，可以得到另一个消元矩阵，使得第三个主元 pivot 形式也成立

\begin{aligned} E^{''} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} E^{''}P^{''} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} &= I \end{aligned}

因此从矩阵 $P$ 转换为单位矩阵的变换步骤是 $E^{''}(E^{'}(EP))$ ，根据矩阵的乘法结合律可以得到「整合」的矩阵 $M$

\begin{aligned} M &= E^{''}E^{'}E\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0& 0\\ 1 & -2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

提示

由于 $MP=I$ 所以矩阵 $M$ 是矩阵 $P$ 的逆矩阵 inverse matrix