L3-矩阵的乘法和逆-习题集

参考

问题 3.1

比较 $AB+AC$ 和 $A(B++C)$

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&0 \end{bmatrix}, C= \begin{bmatrix} 0& 0\\ 5&6 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} AB= \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 3&0 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} AC= \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0& 0\\ 5&6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10&12\\ 20&24 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} AB+AC= \begin{bmatrix} 1&0\\ 3&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10&12\\ 20&24 \end{bmatrix} \end{aligned}= \begin{bmatrix} 11&12\\ 23&24 \end{bmatrix}

\begin{aligned} B+C= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0& 0\\ 5&6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 5&6 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} A(B+C)= \begin{bmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 5&6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11&12\\ 23&24 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以 $AB+AC=A(B+C)$

已知 $UU^{-1}=I$ 使用 Gauss-Jordan 消元法求解逆矩阵 $U^{-1}$

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vdots &\vdots &\vdots \\ x_{1}&x_{2} &x_{3} \\ \vdots&\vdots &\vdots \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

三个方程组的增广矩阵

\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

消元步骤：

\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1& a& b\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1& -c\\ 0& 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1& a& b\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1& 0 & 0\\ 0& 1& -c\\ 0& 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1& a& b\\ 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1& -a & ac-b\\ 0& 1& -c\\ 0& 0&1 \end{matrix} \end{array} \right ]

所以 $U^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$