L4-矩阵的A=LU分解-习题集

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - Factorization into A = LU - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on factorization into A = LU | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on factorization into A = LU | pdf

问题 4.1

已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}1& 3& 0\\2& 4& 0\\2& 0&1\end{bmatrix}$ 求解 $E$ 使得 $EA=U$ ，求解 $L$ ，即 $E^{-1}$ ，使得 $A=LU$

解答

使用矩阵消元法将矩阵 $A$ 转换为 $U$ 形式

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} 1& 3& 0\\ 2& 4& 0\\ 2& 0&1 \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{bmatrix}] {E_{21}} \begin{bmatrix} 1& 3& 0\\ 0& -2& 0\\ 2& 0&1 \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0&1 \end{bmatrix}] {E_{31}}\\ \begin{bmatrix} 1& 3& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& -6&1 \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -3&1 \end{bmatrix}] {E_{32}} \begin{bmatrix} 1& 3& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}= U \end{aligned}

依次整合各个消元矩阵可得

\begin{aligned} E&=E_{32}E_{31}E_{21}\\ &=\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& -3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 4& -3&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

可以从矩阵 $E$ 基于 $EL=I$ 求出矩阵 $L$ （使用高斯-若尔当能消元法 Gauss–Jordan 求解逆矩阵），也可以分别写出各个消元矩阵的逆矩阵，并将它们逆序相乘求出 $L$

\begin{aligned} L&=E^{-1}_{21}E^{-1}_{31}E^{-1}_{32}\\ &= \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 3&1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 2& 3&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

提示

也可以直接将各消元矩阵的倍数（不带正负号）写入 $3 \times 3$ 矩阵的相应的位置得到矩阵 $L$ 。

问题 4.2

将对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}a& a& a& a \\a& b& b& b\\a& b& c& c\\a& b& c& d\end{bmatrix}$ 分解为 $A=LU$ 形式，求出其中 $L$ 和 $U$ ；并求出针对 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 的 4 个条件，使得分解的矩阵（上三角矩阵 $U$ ）中具有四个主元。

解答

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} a& a& a& a \\ a& b& b& b\\ a& b& c& c\\ a& b& c& d \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1 \end{bmatrix}] {E_{first pivot}} \begin{bmatrix} {\color{Red}a}& a& a& a \\ 0& b-a& b-a& b-a\\ 0& b-a& c-a& c-a\\ 0& b-a& c-a& d-a \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1 \end{bmatrix}] {E_{second pivot}}\\ \begin{bmatrix} a& a& a& a \\ 0& {\color{Red}b-a}& b-a& b-a\\ 0& 0& c-b& c-b\\ 0& 0& c-b& d-b \end{bmatrix} \xrightarrow [\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1 \end{bmatrix}] {E_{third pivot}} \begin{bmatrix} a& a& a& a \\ 0& b-a& b-a& b-a\\ 0& 0& {\color{Red}c-b}& c-b\\ 0& 0& 0& d-c \end{bmatrix}= U \end{aligned}

将各消元矩阵的倍数写入 $4 \times 4$ 矩阵的相应位置得到矩阵 $L$

\begin{aligned} L= \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

如果要上三角矩阵具有四个主元，需要让主元位置上的元素（红色标注）的值都为非零

\begin{aligned} U= \begin{bmatrix} {\color{Red}a}& a& a& a \\ 0& {\color{Red}b-a}& b-a& b-a\\ 0& 0& {\color{Red}c-b}& c-b\\ 0& 0& 0& {\color{Red}d-c} \end{bmatrix} \end{aligned}

得到不等式组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} a \neq 0\\ b-a \neq 0\\ c-b \neq 0\\ d-c \neq 0\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}

即

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} a \neq 0\\ b \neq a\\ c \neq b\\ d \neq c\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}