L5-转置、置换、向量空间-习题集

参考

问题 5.1

由于 $P^{3}=PPP=I$ ，根据逆矩阵规则 $P^{-1}P=I$ 和置换矩阵的逆矩阵规则 $P^{-1}=P^{T}$ ，因此 $P^{T}=PP$ 。

假设 $P$ 是对称矩阵，则 $P^{T}=P$ ，因此由 $P^{T}=PP$ 可得 $P=I$ ，与题目条件矛盾。

因此 $P$ 是非对称矩阵。

可以取 $3 \times 3$ 置换矩阵中的非对称矩阵矩阵里的一个

\begin{aligned} P= \begin{bmatrix} 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1&0 \end{bmatrix} \end{aligned}

则 $P^{2}$

\begin{aligned} P^{2}= \begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ 0& 0&1 \\ 1& 0&0 \end{bmatrix} \end{aligned}

可得

\begin{aligned} PP^{2}= \begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

借助上一题得到的 $P$ 可以构建出一个 $\hat{P}$

\begin{aligned} \hat{P}= \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0& {\color{Red}P} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& {\color{Red} 0}& {\color{Red}0}& {\color{Red}1}\\ 0& {\color{Red}1}& {\color{Red}0}& {\color{Red}0}\\ 0& {\color{Red}0}& {\color{Red}1}& {\color{Red}0} \end{bmatrix} \end{aligned}

使用分块乘法，且根据上一题 $P^{3}=I$ 可得

\begin{aligned} \hat{P}^{3}= \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0& P^{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0& I \end{bmatrix}=I \end{aligned}

因此

\begin{aligned} \hat{P}^{4}=\hat{P} \hat{P}^{3}=\hat{P} \neq I \end{aligned}

当矩阵 $A_{4 \times 4}$ 满足以下条件时，其中哪些元素是「独立」（可以取任意实数）

当 $A$ 是对称矩阵时，则其中的元素需要满足 $a_{ij}=a_{ji}$ ，即沿对角线而将矩阵分开的两半，其中一半的元素是「独立」的，另一半元素需要一一对应相等；此外，对角线上的元素也是「独立」的，可以取任意值。

因此有 $4+6=10$ 个元素可以是「独立」的（红色标注）。

\begin{aligned} \begin{bmatrix} {\color{Red} a_{11}} & a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ {\color{Red} a_{21}} & {\color{Red} a_{22}} & a_{23}& a_{24}\\ {\color{Red} a_{31}} & {\color{Red} a_{32}} & {\color{Red} a_{33}} & a_{34}\\ {\color{Red} a_{41}} & {\color{Red} a_{42}} & {\color{Red} a_{43}} & {\color{Red} a_{44}} \end{bmatrix} \end{aligned}

当 $A$ 是对称矩阵时，则其中的元素需要满足 $a_{ij}=-a_{ji}$ ，即沿对角线而将矩阵分开的两半，其中一半的元素是「独立」的，另一半元素需要一一对应取相反的值；此外，对角线上的元素必须是 $0$ 。

因此有 6 个元素可以是「独立」的（红色标注）。

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 0& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ {\color{Red} a_{21}} & 0 & a_{23}& a_{24}\\ {\color{Red} a_{31}} & {\color{Red} a_{32}} & 0 & a_{34}\\ {\color{Red} a_{41}} & {\color{Red} a_{42}} & {\color{Red} a_{43}} & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

判断正误

可以参考向量空间的定义，即集合中的向量对于线性组合的封闭性，则可以从矩阵相加和矩阵的数乘操作的封闭性这一准则来判断相应的矩阵集合是否构成子空间。

取对称矩阵集合中任意两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，则它们满足 $A=A^{T}$ 和 $B=B^{T}$

因此正确 True

取方对称矩阵集合中任意两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，则它们满足 $A=-A^{T}$ 和 $B=-B^{T}$

对于矩阵加法是封闭的：由于 $A+B=(-A^{T})+(-B^{T})=-(A^{T}+B^{T})=-(A+B)^{T}$ 即结果矩阵也是反对称矩阵，仍在反对称矩阵的集合中
对于矩阵数乘是封闭的：由于 $cA=-cA^{T}$ 即结果矩阵也是反对称矩阵，仍在反对称矩阵的集合中

因此正确 True

取两个非对称矩阵

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

由于该集合中的矩阵对于加法不封闭，示例中的结果矩阵是对称矩阵，已经不在非对称矩阵的集合中了。

因此错误 False