L12-图、网络和关联矩阵-习题集

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L12-图、网络和关联矩阵-习题集

参考

问题 12.1

mermaid
  • 写出上图所对应的 4×44 \times 4 关联矩阵 AA
  • 求出矩阵 AA 的零空间（即方程组 Ax=0Ax=0 的通解）
  • 证明向量 [1000]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 不在左空间 C(AT)C(A^{T}) 中

解答 1

与上图相应的关联矩阵如下：

A=[−11000−110001−1−1001]\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

解答 2

Ax=[−11000−110001−1−1001][x1x2x3x4]=[x2−x1x3−x2x4−x3x4−x1]=[0000]\begin{aligned} Ax= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{2}-x_{1} \\ x_{3}-x_{2} \\ x_{4}-x_{3} \\ x_{4}-x_{1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以得到 x1=x2=x3=x4x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}

所以方程组的特解是 [1111]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}

则零空间（方程组的通解）是

c[1111]\begin{aligned} c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

因此零空间的维度是 dimN(A)=1dimN(A)=1，则矩阵 AA 的秩是 r=n−dimN(A)=4−1=3r=n-dimN(A)=4-1=3

解答 3

提示

参考答案是通过考虑向量 [1000]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 与零空间（的向量 c[1111]c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}）不正交 not orthogonal

AT=[−100−11−100011000−11]\begin{aligned} A^{T}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

假设向量 b=[1000]b=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 在左空间 C(AT)C(A^{T}) 中，则表示向量 bb 可以由矩阵 ATA^{T} 的各列向量进行线性得到，即 ATx=bA^{T}x=b 有解

构建增广矩阵并进行消元求解

(A∣b)=[−100−111−10000110000−110]→E[−100−110−10−110110000−110]→E[−100−110−10−11001−1100−110]→E[−100−110−10−11001−1100001]\begin{aligned} (A|{\color{Blue}b }) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 1 & -1 & 0 & 0 & {\color{Blue} 0} \\ 0 & 1 & 1 & 0 & {\color{Blue} 0} \\ 0 & 0 & -1 & 1 & {\color{Blue} 0} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} -1} & 0 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & -1 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 1 & 1 & 0 & {\color{Blue} 0} \\ 0 & 0 & -1 & 1 & {\color{Blue} 0} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} -1} & 0 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & {\color{Orange} -1} & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & 1 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & -1 & 1 & {\color{Blue} 0} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} -1} & 0 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & {\color{Orange} -1} & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & {\color{Orange} 1} & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{Blue} 1} \end{bmatrix} \end{aligned}

经过消元操作得到的增广矩阵所对应的方程组如下

{−x1−x4=1−x2−x4=1x3−x4=10=1\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} -x_{1}-x_{4}=1 \\ -x_{2}-x_{4}=1 \\ x_{3}-x_{4}=1 \\ 0=1 \\ \end{matrix}\right. \end{aligned}

方程组的最后一个得到一个矛盾的等式，因此前面假设量 b=[1000]b=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 在左空间 C(AT)C(A^{T}) 中是不成立

问题 12.2

mermaid

如果上一题的图 graph 是一个电网，且假设导电率矩阵如下

C=[1000020000200001]\begin{aligned} C= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

回答以下问题

  • 求 ATCAA^{T}CA
  • 如果电网中添加电源 f=[10−10]f=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}，让电网中的产生电流，电流从结点 node1 流向结点 node3，求方程组 ATCAx=fA^{T}CAx=f 的解（即电网中各结点的电势）
  • 在图中写出各结点的电势 xx 和各电流的连线 y=−CAxy=-CAx

解答 1

CA=[1000020000200001][−11000−110001−1−1001]=[−11000−220002−2−1001]\begin{aligned} CA= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}ATCA=AT(CA)[−100−11−100011000−11][−11000−220002−2−1001]=[2−10−1−13−200−24−2−10−23]\begin{aligned} A^{T}CA=A^{T}(CA) \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -2 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

解答 2

求解 ATCAx=fA^{T}CAx=f 方程组，将 ATCAA^{T}CA 系数矩阵记为 MM

Mx=[2−10−1−13−200−24−2−10−23][x1x2x3x4]=[10−10]=f\begin{aligned} Mx= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}= f \end{aligned}

构建增广矩阵并进行消元求解

(M∣f)=[2−10−11−13−2000−24−2−1−10−230]→E[2−10−1105−4−110−24−2−10−1−451]→E[2−10−1105−4−110012−12−300−24246]→E[2−10−1105−4−110012−12−300000]\begin{aligned} (M|{\color{Blue}f }) = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ -1 & 3 & -2 & 0 & {\color{Blue} 0} \\ 0 & -2 & 4 & -2 & {\color{Blue} -1} \\ -1 & 0 & -2 & 3 & {\color{Blue} 0} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} 2} & -1 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 5 & -4 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & -2 & 4 & -2 & {\color{Blue} -1} \\ 0 & -1 & -4 & 5 & {\color{Blue} 1} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} 2} & -1 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & {\color{Orange} 5} & -4 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & 12 & -12 & {\color{Blue} -3} \\ 0 & 0 & -24 & 24 & {\color{Blue} 6} \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} 2} & -1 & 0 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & {\color{Orange} 5} & -4 & -1 & {\color{Blue} 1} \\ 0 & 0 & {\color{Orange} 12} & -12 & {\color{Blue} -3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{Blue} 0} \end{bmatrix} \end{aligned}

所以矩阵 MM 的秩为 r=3r=3 不满秩（自由变量有 n−r=1n-r=1 个），而且经过消元操作得到的增广矩阵所对应的方程组如下

{2x1−x2−x4=15x2−4x3−x4=112x3−12x4=−30=0\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-x_{2}-x_{4}=1 \\ 5x_{2}-4x_{3}-x_{4}=1 \\ 12x_{3}-12x_{4}=-3 \\ 0=0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

特别留意方程组的最后一个等式（它所对应的行向量与前三行的向量是线性相关的）是成立的，所以该方程组 Mf=0Mf=0 有无数个解

其中电网中电流的方向从结点 node1 流向结点 node3，所以这里假设结点 node3 接地（？参考答案 choosing x3 = 0 to represent a grounded node gives 应该是这个意思），它的电势取值为 x3=0x_{3}=0，回代到以上的方程组中，可以得到方程组的一个特解

{x1=34x2=14x3=0x4=14\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{3}{4} \\ x_{2}=\frac{1}{4} \\ x_{3}=0 \\ x_{4}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right. \end{aligned}

再根据 y=−CAxy=-CAx 求得各个连线的电流

y=−CAx=[1−10002−2000−22100−1][3414014]=[12121212]\begin{aligned} y=-CAx= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 0 \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}

所以电网的各结点电势和各连线的电流情况如下

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