因为根据方程组 $Ax=b$ 的形式可知矩阵 $A$ 的行数是 $3$，而方程组的可解性与 $b$ 相关，所以矩阵 $A$ 是列满秩的，即 $r=n$，但行不满秩（如果行满秩，则矩阵 $A$ 就是一个方阵，且方阵满秩，那么方程组 $Ax=b$ 就必有一个唯一的解），所以 $r=n<m$，即 $r<3$

可得相关信息是：

• $m=3$
• $r=n$
• $r<3$

所以矩阵的秩可以取两个值 $r=n=1$ 或 $r=n=2$

由解答 a 可知 $r=n$，所以矩阵 $A$ 的零空间的维度是 $dimN(A)=n-r=0$，即零空间只包含一个零向量

如果矩阵 $A$ 的列数是 $1$ 时（那么秩就是 $1$），则方程组 $Ax=0$ 的唯一解是 $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$

如果矩阵 $A$ 的列数是 $2$ 时（那么秩就是 $2$），则方程组 $Ax=0$ 的唯一解是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

如果矩阵 $A$ 的列数是 $1$ 时，那么满足 a 所描述的信息（行数 $m=3$，且列满秩）的一个矩阵可以是

如果矩阵 $A$ 的列数是 $2$ 时，那么满足 a 所描述的信息（行数 $m=3$，且列满秩）的一个矩阵可以是

根据题目可得各消元矩阵 $E$，及其逆矩阵 $E^{-1}$

根据题目的条件可知

即 $(E_{23}(E_{31}(E_{21}A)))=(E_{23}E_{31}E_{21})A=I$

矩阵 $A$ 消元变换可以得到单位矩阵 $I$，所以它的秩 $r=3$ 是一个可逆矩阵，存在逆矩阵 $A^{-1}$，而且 $A^{-1}A=I$

所以 $A^{-1}=E_{23}E_{31}E_{21}$

根据逆矩阵的作用可知

所以 $A=E^{-1}_{21}(E^{-1}_{31}(E^{-1}_{23}I))=E^{-1}_{21}E^{-1}_{31}E^{-1}_{23}$

根据题目中消元矩阵的作用，可知通过 $E_{21}$ 和 $E_{31}$ 消元后已经构建出上三角矩阵 $U$

根据逆矩阵的作用可知

所以 $A=E^{-1}_{21}(E^{-1}_{31}U)$，即下三角矩阵 $L=E^{-1}_{21}E^{-1}_{31}$

对矩阵 $A$ 进行消元变换

• 如果 $c=3$ 时，则主元 $r=2$（以下橙色标注的是主元） $$A \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} 1} & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & {\color{Orange} -4} & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
  在阶梯形式中主列对应于矩阵 $A$ 的第一列和第三列，它们可以作为列空间 $C(A)$ 的一组基 $$\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$
• 如果 $c \neq 3$ 时，则主元 $r=3$（以下橙色标注的是主元） $$A \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Orange} 1} & 1 & 2 & 4 \\ 0 & {\color{Orange} c-3} & -4 & -4 \\ 0 & 0 & {\color{Orange} 2} & 2 \end{bmatrix}$$
  在阶梯形式中主列对应于矩阵 $A$ 的第一列、第二列和第三列，它们可以作为列空间 $C(A)$ 的一组基 $$\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

由解答 a 可知

• 当 $c=3$ 时，矩阵的秩 $r=2$，则矩阵的零空间的维度是 $dimN(A)=n-r=4-2=2$（有两个自由变量），所以需要两个特解来张成零空间
  设定自由变量 $x_{2}=1, x_{4}=0$，代入方程组 $Ax=0$ 可得 $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}+1+2x_{3}=0 \\ 3x_{1}+3+2x_{3}=0 \\ x_{3}=0 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  解得一个特解 $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=0 \\ x_{4}=0 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  设定自由变量 $x_{2}=0, x_{4}=1$，代入方程组 $Ax=0$ 可得 $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{3}+4x_{4}=0 \\ 3x_{1}+2x_{3}+8x_{4}=0 \\ 2x_{3}+2=0 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  解得另一个特解 $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-2 \\ x_{2}=0 \\ x_{3}=-1 \\ x_{4}=1 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  所以零空间的一组基是 $$\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
• 当 $c \neq 3$ 时，矩阵的秩 $r=3$，则矩阵的零空间的维度是 $dimN(A)=n-r=4-3=1$（有一个自由变量），所以需要一个特解就可以张成零空间

设定自由变量 $x_{4}=1$，代入方程组 $Ax=0$ 可得

可得

由以上方程组的前两个等式可得

因为 $c \neq 3$ 所以只有当 $x_{2}=0$ 时，等式才成立，因此求得一个特解

所以零空间的一组基是

方程组 $Ax=b$ 的通解是由一个特解和零空间 $N(A)$ 构成的

观察方程组 $Ax=\begin{bmatrix} 1 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$ 可知矩阵 $A$ 的第二行正好就是 $b$，所以方程组的特解可以是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

再根据解答 c求得的零空间，得出方程组 $Ax=\begin{bmatrix} 1 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$ 的通解

• 当 $c=3$ 时，方程组的通解为 $$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
• 当 $c \neq 3$ 时，方程组的通解为 $$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

矩阵 $A_{3 \times 5}$ 的零空间是 $\mathbb{R}^{5}$ 的子空间，所以零空间的维度最大只能是 $5$，即 $dimN(A) \le 5$。

而矩阵 $A$ 的行数只有 $m=3$，根据秩与行数的关系 $r \le m$（即 $r \le 3$），以及零空间维度的公式 $dimN(A)=n-r=5-r \ge 5-3$，可得零空间的维度最小值只能是 $2$，即 $dimN(A) \ge 2$。

所以零空间的维度范围是 $2 \le dimN(A) \le 5$

简化阶梯形式中，第一列、第四列和第五列是主列（主元用橙色标记），在矩阵 $A$ 中所对应的列可以构成列空间 $C(A)$ 的一组基

另外根据简化阶梯形式，可知矩阵 $A$ 的第二列与第一列线性相关，且倍数关系是 $4$；第三列是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

因为简化行阶梯形式 $R$ 本身就是由上三角矩阵 $U$ 进一步简化而来的，所以 $R$ 的下三角都是零，如果将所有的 $R$ 集合构成一个矩阵空间，则由它们进行线性组合，是可以得到任何的上三角矩阵的 $U$，即子空间 $S$ 就是表示上三角矩阵