L18-行列式及其性质-习题集

参考

问题 18.1

如果矩阵 $A$ 的每一行各元素之和都为 $0$ ，通过求解 $Ax=0$ 来证明 $detA=0$ 。如果每一行各元素之和都为 $1$ 呢，是否可以证明 $det(A-I)=0$ ，这是否意味着 $detA=1$ 呢？

对于 $Ax$ 如果令列向量 $x$ 各元素都是 $1$ 即 $x=\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$

从矩阵与列向量相乘的角度考虑，则 $Ax$ 相乘的结果向量中，各元素都是源自矩阵 $A$ 相应行的各元素之和

再根据题设「矩阵 $A$ 的每一行各元素之和都为 $0$ 」，所以这个结果向量各元素都是 $0$

即 $x=\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ 使得 $Ax=0$ 成立，是方程组的解

所以方程组 $Ax=0$ 除了未知数均为另以外，还有存在其他的解，使得方程组的各等式成立，即方程组没有唯一解

从矩阵 $A$ 的角度而言，即使矩阵的零空间并不是仅有零向量 non-zero nullspace，还存在其他的向量，所以构成矩阵 $A$ 的各列向量之间并非完全独立，即矩阵 $A$ 是奇异的/非可逆的

根据行列式的特性八可知，不可逆矩阵 $A$ 的行列式为 $detA=0$

同理，当矩阵 $A$ 的每一行各元素之和都为 $1$ 时

则令列向量 $x$ 各元素都是 $1$ 即 $x=\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ 那么 $(A-I)x$ 相乘的结果向量就是零向量，所以 $(A-I)x=0$ 方程组没有唯一解，即 $A-I$ 矩阵各列并不是独立的，它是一个不可逆矩阵

所以 $det(A-I)=0$

但是并不能推导出 $detA=1$

一个反例如下

A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

它满足题设，即每一行各元素之和都为 $1$ ，而且和上面的推导一致 $(A-I)$ 是一个不可逆矩阵

但是此时的 $A$ 是通过 $I$ 的第一行和第二行调换而得到的，根据行列式的特性二可知，矩阵 $A$ 的行列式为 $detA=-1$

使用行变换（消元变换）以及行列式的一些特性求解以下的 $3 \times 3$ 的 Vandermonde determinant 范德蒙矩阵

det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}

根据行列式的特性五可知对矩阵进行消元变换，并不会影响矩阵的行列式；根据行列式的特性三之一可以对矩阵的某一行提取公因子操作

所以可以执行以下运算

\begin{aligned} det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix} &= det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & b-a & b^{2}-a^{2} \\ 0 & c-a & c^{2}-a^{2} \end{bmatrix} \\ &= det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & b-a & (b-a)(b+a) \\ 0 & c-a & (c-a)(c+a) \end{bmatrix} \\ &= det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 \cdot {\color{Red} (b-a) } & {\color{Red} b-a } & {\color{Red} (b-a) }(b+a) \\ 0 & c-a & (c-a)(c+a) \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & c-a & (c-a)(c+a) \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 \cdot {\color{Blue} (c-a) } & {\color{Blue} c-a } & {\color{Blue} (c-a) }(c+a) \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) }{\color{Blue} (c-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 1 & c+a \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) }{\color{Blue} (c-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 0 & (c+a)-(b+a) \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) }{\color{Blue} (c-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 0 & c-b \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

根据特性五可知三角矩阵的行列式是对角线上各元素（主元）的乘积，所以以上等式可以进一步化简

\begin{aligned} det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix} &={\color{Red} (b-a) }{\color{Blue} (c-a) } det \begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 0 & c-b \end{bmatrix} \\ &={\color{Red} (b-a) }{\color{Blue} (c-a) }[1 \times 1 \times (c-b)] \\ &=(b-a)(c-a)(c-b) \end{aligned}

范德蒙矩阵

范德蒙矩阵是同名数学家 Alexandre-Théophile Vandermonde 提出的，范德蒙矩陣是一个各行呈现出几何级数的矩阵

V= \begin{bmatrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \dots & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{2}^{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{m} & x_{m}^{2} & \dots & x_{m}^{n} \end{bmatrix}

也可以表示为 $V=x_{i}^{j}$ 其中 $i$ 和 $j$ 从 $0$ 开始， $i$ 表示该元素所在的行（减一）， $j$ 表示该元素所在的列（减一）

该矩阵的行列式由各行的「根值」 $x_{i}$ 之间的差值的乘积构成

det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})