L19-行列式公式和代数余子式-习题集

参考

问题 19.1

计算矩阵的行列式

A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

对于这个矩阵而言，采用哪一种求解方法更方便

由于上述矩阵具有大量的 $0$ 元素，所以使用行列式的通用公式求解会更直接简单，因为求和的展开式中很多项都是 $0$

\begin{aligned} detA&= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ &=\pm a_{14}a_{21}a_{32}a_{43} \end{aligned}

再根据该项中所选取的各行元素的顺序为 $(4, 1, 2, 3)$ 如果要将元素的列标改成 $(1, 2, 3, 4)$ 需要执行 $3$ 次调换，即需要奇数次行调换成为对角矩阵，所以该项是负号

detA=-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}=-1

类似地，也可以采用代数余子式

\begin{aligned} detA&= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ =&0-0+0-1\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{aligned}

化简后只剩下最后一项，而由于这一项的代数余子式是一个 $I_{3 \times 3}$ 单位矩阵的行列式，所以该行列式为 $1$ ，所以最后可以求得

detA=-1

已知帕斯卡对称矩阵的行列式为 $1$ ，证明如果将该矩阵的最后一项 $a_{nn}$ 减去 $1$ ，所得的新矩阵的行列式为 $0$ （使用行列式的特性三和代数余子式来证明）

帕斯卡矩阵

帕斯卡矩阵 Pascal matrix 以二项式系数/组合数为元素的矩阵。

而帕斯卡对称矩阵 symmetric Pascal matrices 是具有对称性的帕斯卡矩阵

已知以下的帕斯卡对称矩阵的行列式为 $1$

det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{bmatrix}=1

那么求解以下矩阵的行列式

\begin{aligned} &det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & {\color{Red} 19} \end{bmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1+0 & 4+0 & 10+0 & {\color{Red} 20-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \end{aligned}

已知以上展开的求和式中第一项为帕斯卡对称矩阵的行列式，其值为 $1$

对于第二项的矩阵的行列式，可以使用代数余子式对其进一步展开

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{Red} -1} \end{vmatrix}= {\color{Red} -1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix}

选取最后一行的元素作为公因子，由于只有第 $4$ 列元素为非零元素，所以展开后只有一项，而该项的代数余子式是一个 $3 \times 3$ 矩阵的行列式，该矩阵正好也是一个帕斯卡对称矩阵，所以它的值为 $1$

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{Red} -1} \end{vmatrix}= {\color{Red} -1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix}=-1 \times 1 = 1

将以上步骤整合，最后可以证明题设成立

\begin{aligned} &det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & {\color{Red} 19} \end{bmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1+0 & 4+0 & 10+0 & {\color{Red} 20-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \\ &=1{\color{Red} -1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix} \\ &=1-1 \times 1 \\ &=0 \end{aligned}