L20-克拉默法则、逆矩阵、体积-习题集

参考

问题 20.1

假设矩阵 $A$ 如下

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix}

求矩阵 $A$ 的余子式矩阵 $C$ 并通过计算 $AC^{T}$ 求解行列式 $det(A)$

提示

余子式矩阵的第一行如下

C= \begin{bmatrix} 6 & -3 & 0 \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{bmatrix}

如果将矩阵的 $(1,3)$ 元素 $a_{1,3}=4$ 改为 $100$ ，矩阵的行列式 $det(A)$ 会改变吗?

根据代数余子式的定义，可以分别求出矩阵 $A$ 各元素的代数余子式，再将它们整合为余子式矩阵

例如对于矩阵的第一行第一列的元素 ${\color{Red}a_{1,1} }$ ，它所相对应的代数余子式是指一个 $2 \times 2$ 矩阵（该矩阵是矩阵 $A$ 剔除了第一行第一列后由余下的元素所构成的，即以下矩阵 $A$ 的绿色部分）的行列式

A= \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 1 & 4 \\ 1 & {\color{Lime}2 } & {\color{Lime}2 } \\ 1 & {\color{Lime}2 } & {\color{Lime}5 } \end{bmatrix}

所以 $c_{1,1}={\color{Lime}2 } \times {\color{Lime}5 }-{\color{Lime}2 } \times {\color{Lime}2 }=6$

同理可以分别求出矩阵 $A$ 各元素的代数余子式，再将它们整合为余子式矩阵

C= \begin{bmatrix} 6 & -3 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ -6 & 2 & 1 \end{bmatrix}

然后根据逆矩阵的代数形式 $A^{-1}=\cfrac{1}{detA}C^{T}$ 以及逆矩阵的性质 $A^{-1}A=I$

可以得到以下等式

I=A^{-1}A=\cfrac{AC^{T}}{detA}

其中 $detA$ 是矩阵 $A$ 的行列式，一个标量（常量），则以上公式可以化简为

(detA)I=AC^{T}

所以计算出 $AC^{T}$ （注意这里使用的是伴随矩阵，即余子式矩阵的转置 $C^{T}$ ），再与单位矩阵 $I$ 进行对比，就可以得到行列式 $detA$ 的值

\begin{aligned} AC^{T}&= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 3 & -6 \\ -3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\ &=3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=3I \end{aligned}

所以矩阵 $A$ 的行列式为 $detA=3$

观察矩阵 $A$ 的结构

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix}

在使用通用公式计算行列式，如果选取第一行（或第三列）作为的元素作为公因数时，由于 $(1,3)$ 元素 $a_{1,3}$ 它的代数余子式是 $0$ ，所以 $a_{1,3}$ 对于行列式的结果并没有贡献/影响

所以如果将矩阵的 $(1,3)$ 元素 $a_{1,3}=4$ 改为 $100$ ，矩阵的行列式 $det(A)$ 并不会改变

提示

对于矩阵 $A$ 的 $(1,3)$ 元素 $a_{1,3}$ ，所相对应的代数余子式是指一个 $2 \times 2$ 矩阵（该矩阵是矩阵 $A$ 剔除了第一行第三列后由余下的元素所构成的，即以下矩阵 $A$ 的绿色部分）的行列式

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & {\color{Red}4 } \\ {\color{Lime}1 } & {\color{Lime}2 } & 2 \\ {\color{Lime}1 } & {\color{Lime}2 } & 5 \end{bmatrix}

球坐标系满足 $\rho$ 、 $\phi$ 、 $\theta$ 以下关系

一个 $3 \times 3$ 矩阵各元素由 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的偏导数构成

\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{bmatrix}

计算每个元素的具体值，并求解矩阵的行列式

提示

矩阵的行列式经过化简后可得 $J=\rho^{2} \sin\phi$

由矩阵的各行向量作为边构建出一个「球体」，它的无限小体积为 an infinitesimal "coordinate box"

\mathrm{d}V = \rho^{2} \sin\phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta

矩阵的各元素是 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 分别对于球坐标系 $\rho$ 、 $\phi$ 、 $\theta$ 的偏导，可得各元素的具体值

\begin{bmatrix} \sin\phi \cos\theta & \rho \cos\phi \cos\theta & -\rho \sin\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta & \rho \cos\phi \sin\theta & \rho \sin\phi \cos\theta \\ \cos \phi & -\rho \sin\phi & 0 \end{bmatrix}

使用通用公式（含有代数余子式）求解行列式，选取最后一行的元素作为公因数，可得

\begin{aligned} J&=\cos\phi \begin{bmatrix} \rho \cos\phi \cos\theta & -\rho \sin\phi \sin\theta \\ \rho \cos\phi \sin\theta & \rho \sin\phi \cos\theta \\ \end{bmatrix} \\ &\quad -(-\rho \sin\phi) \begin{bmatrix} \sin\phi \cos\theta & -\rho \sin\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta & \rho \sin\phi \sin\theta \\ \end{bmatrix} +0 \\ &=\cos\phi(\rho^{2} \cos\phi \sin\phi \cos^{2}\theta - (-\rho^{2} \cos\phi \sin\phi \sin^{2}\theta)) \\ &\quad + \rho \sin\phi (\rho \sin^{2}\phi \cos^{2}\theta + \rho \sin^{2}\phi \sin^{2}\theta) \\ &=\cos\phi(\rho^{2} \cos\phi \sin\phi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)) \\ &\quad +\rho \sin\phi(\rho \sin^{2}\phi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)) \\ &=\cos\phi(\rho^{2} \cos\phi \sin\phi)+\rho \sin\phi(\rho \sin^{2}\phi) \\ &=\rho^{2}\sin\phi(\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi) \\ &=\rho^{2}\sin\phi \end{aligned}