L21-特征值和特征向量-习题集

参考

问题 21.1

已知 $3 \times 3$ 矩阵 $B$ 的特征值是 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ，仅根据这个信息可以解决以下哪三个问题：

因为矩阵 $B$ 存在特征值为 $0$ （对应存在特征向量），那么对于方程 $Ax=0$ 必有解（这个解不单是零向量，因为零向量是无效的特征向量），所以矩阵 $A$ 是不可逆矩阵（存在线性相关的列），所以矩阵 $B$ 不满秩，即 $rank(B)<3$

提示

也可以通过行列式来判断矩阵 $B$ 的可逆性

矩阵的特征值的积和行列式的值一样，所以 $detB=0 \times 1 \times 2=0$

所以矩阵 $B$ 是不可逆矩阵，也可以知道矩阵的秩满足 $rank(B)<3$

由于秩的值是大于等于非零特征值的数量，所以 $rank(B)\ge 2$

综合可得矩阵 $B$ 的秩为 $rank(B)=2$

证明

矩阵的秩 $rank(A)$ 和矩阵非零特征值数量 $\mu(A)$ 满足 $rank(A)\ge \mu(A)$

\begin{aligned} det(B^{T}B)&=det(B^{T})detB \\ &=(detB)^{2} \\ &=(0 \times 1 \times 2)^{2} \\ &=0 \end{aligned}

仅根据题设无法计算 $B^{T}B$ 的特征值

假如矩阵 $B$ 如下（对角矩阵，对角线上的元素就是特征值，满足题设）

B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

那么 $B^{T}B$ 如下，它的特征值是 $0$ 、 $1$ 、 $4$

B^{T}B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

而如果矩阵 $B$ 如下

B= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

那么 $B^{T}B$ 如下，它的特征值则是 $0$ 、 $2$ 、 $4$ ，与前面的不一致

B^{T}B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

所以无法仅通过 $B$ 的特征值计算 $B^{T}B$ 的特征值

当矩阵 $B$ 的特征值为 $\lambda$ 特征向量为 $x$ 时，满足 $Bx=\lambda x$

可得

\begin{aligned} Bx \times Bx&=\lambda x \times \lambda x \\ &\Downarrow \\ B^{2}x\times x&=\lambda^{2}x\times x \\ &\Downarrow \\ B^{2}x&=\lambda^{2}x \end{aligned}

由上面的等式 $B^{2}x=\lambda^{2}x$ 可知矩阵 $B^{2}$ 的特征值为 $\lambda^{2}$

提示

课堂上由讲解矩阵 $A$ 与单位矩阵相加，对于特征值的影响

如果矩阵 $A$ 的特征值是 $\lambda$ 那么矩阵 $A+kI$ 的特征值是 $\lambda + k$

根据课堂的总结可知，当 $B^{2}$ 的特征值为 $\lambda^{2}$ ，那么 $B^{2}+I$ 的特征值为 $\lambda^{2}+1$

逆矩阵 $A^{-1}$ 和原矩阵 $A$ 之间的特征值也存在关系

\begin{aligned} Ax&=\lambda x\\ &\Downarrow \\ A^{-1}Ax&=\lambda A^{-1}x \\ &\Downarrow \\ x&=\lambda A^{-1}x \\ &\Downarrow \\ \cfrac{1}{\lambda}x&= A^{-1}x \end{aligned}

由上面的等式 $A^{-1}x=\cfrac{1}{\lambda}x$ 可知矩阵 $A^{-1}$ 的特征值为 $\cfrac{1}{\lambda}$

如果将以上的矩阵 $A$ 替换为 $B^{2}+I$ 那么矩阵 $(B^{2}+I)^{-1}$ 特征值对应为 $\cfrac{1}{\lambda^{2}+1}$

将矩阵 $B$ 的特征值代入公式，可以得到矩阵 $(B^{2}+I)^{-1}$ 特征值为

逆矩阵的特征值

逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征值为 $\cfrac{1}{\lambda}$

证明过程参考自该网页

求以下矩阵的特征值

A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}, C= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}

由于矩阵 $A$ 是对角矩阵，所以特征值是矩阵对角线上的元素 $1$ 、 $4$ 、 $6$

通过求解特征方程 $det(B-\lambda I)$ 求出矩阵 $B$ 的特征值

\begin{aligned} det(B-\lambda I)&= det( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}) \\ &= \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} \\ &=(-\lambda) \times (2-\lambda)\times (-\lambda)-1 \times (2-\lambda) \times 3 \\ &=(2-\lambda)(\lambda^{2}-3) \end{aligned}

解得 $\lambda_{1}=2$ 或 $\lambda_{2}=\sqrt{3}$ 或 $\lambda_{3}=-\sqrt{3}$

通过求解特征方程 $det(C-\lambda I)$ 求出矩阵 $C$ 的特征值

\begin{aligned} det(C-\lambda I)&= det( \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}) \\ &= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 2-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\ &=(2-\lambda) \times (2-\lambda) \times (2-\lambda)-(2-\lambda) \times 2 \times 2 \\ &\quad -2 \times 2 \times (2-\lambda) + 2 \times 2 \times 2 \\ &\quad -2 \times (2-\lambda) \times 2 + 2 \times 2 \times 2 \\ &=(2-\lambda)[(2-\lambda)^{2}-4]-4(2-\lambda)+8-4(2-\lambda)+8 \\ &=(2-\lambda)(\lambda^{2}-4\lambda)+8\lambda \\ &=6\lambda^{2}-\lambda^{3} \\ &=\lambda^{2}(6-\lambda) \end{aligned}

解得 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ 或 $\lambda_{3}=6$