L22-对角化和A的幂-习题集

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L22-对角化和A的幂-习题集

参考

问题 22.1

求出所有可以是以下矩阵 AA 对角化的矩阵 SS（即求出矩阵 $A 的所有特征向量）

A=[4012]A= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

并求出所有使得 A−1A^{-1} 对角化的矩阵

解答

通过求解求解特征方程 det(A−λI)det(A-\lambda I) 可以得到矩阵的所有特征值

det(A−λI)=∣4−λ012−λ∣=(4−λ)(2−λ)=0\begin{aligned} det(A-\lambda I)&= \begin{vmatrix} 4-\lambda & 0 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\ &=(4-\lambda)(2-\lambda) \\ &=0 \end{aligned}

解得 λ1=4\lambda_{1}=4 或 λ2=2\lambda_{2}=2

说明

由于 2×22 \times 2 矩阵 AA 具有 22 个不同的特征值，所以它会有两个线性独立的特征向量，即满足矩阵对角化的条件

再将以上求得的所有特征值 λi\lambda_{i} 分别代入到方程 (A−λI)x=0(A-\lambda I)x=0 中求出所有特征向量

  • 当 λ1=4\lambda_{1}=4 时(A−λI)x=[001−2](A-\lambda I)x= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}
    特解为 x1=[21]x_{1}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}
    所以通解为 x=c1[21]x=c_{1}\begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}（其中 c1c_{1} 为非零系数）
  • 当 λ1=2\lambda_{1}=2 时(A−λI)x=[2010](A-\lambda I)x= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
    特解为 x2=[01]x_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}
    所以通解为 x=c2[01]x=c_{2}\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}（其中 c2c_{2} 为非零系数）

由以上所求得的所有线性独立的特征向量构成矩阵 SS（矩阵中的列向量的先后顺序也可以变化）

S=[2c10c1c2]S= \begin{bmatrix} 2c_{1} & 0 \\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix}

将矩阵 AA 的对角化分解形式 A=SΛS−1A=S \Lambda S^{-1} 代入 A−1A^{-1} 可得

A−1=(SΛS−1)−1A^{-1}=(S \Lambda S^{-1})^{-1}

根据相乘矩阵的逆矩阵的规律可知

A−1=(SΛS−1)−1=SΛ−1S−1\begin{aligned} A^{-1}&=({\color{Red}S } \Lambda {\color{Lime}S^{-1} })^{-1} \\ &={\color{Lime}S } \Lambda^{-1} {\color{Red}S^{-1} } \end{aligned}

由于 Λ\Lambda 是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵 AA 的特征值 λi\lambda_{i}，而对角线之外的元素都是 00

Λ=[λ10…00λ2…0⋮⋮⋱000…λn]\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \\

并根据逆矩阵的代数表达式 Λ−1=1detΛCT\Lambda^{-1}=\cfrac{1}{det\Lambda}C^{T}

可知逆矩阵 Λ−1\Lambda^{-1} 的「形状」与特征值矩阵 Λ\Lambda 的代数余子式所构成的矩阵的转置 CTC^{T} 相关

CT=[λ2λ3…λn0…00λ1λ3…λn…0⋮⋮⋱000…λ1λ2…λn−1]C^{T}= \begin{bmatrix} \lambda_{2}\lambda_{3}\dots\lambda_{n} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_{1}\lambda_{3}\dots\lambda_{n} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_{1}\lambda_{2}\dots\lambda_{n-1} \end{bmatrix} \\

通过计算可知 CTC^{T} 也是一个对角矩阵，即 Λ−1\Lambda^{-1} 也是对角矩阵，而且对角线之外的元素也是 00

所以 A−1=SΛ−1S−1A^{-1}=S \Lambda^{-1} S^{-1} 这个形式就是对逆矩阵 A−1A^{-1} 的对角化分解，由于该公式由 A=SΛkS−1A=S \Lambda^{k} S^{-1} 导出，所以其中 SS 和前面所求的的矩阵一样

S=[2c10c1c2]S= \begin{bmatrix} 2c_{1} & 0 \\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix}

问题 22.2

寻找矩阵 Λ\Lambda 和 SS，以实现对以下矩阵 AA 的对角化

A=[0.60.90.40.1]A= \begin{bmatrix} 0.6 & 0.9 \\ 0.4 & 0.1 \end{bmatrix}

当指数 k→∞k \to \infty 时，求 Λk\Lambda^{k} 趋于何值，以及矩阵 SΛS−1S \Lambda S^{-1} 的列向量有何特点

解答

通过求解求解特征方程 det(A−λI)det(A-\lambda I) 可以得到矩阵的所有特征值

det(A−λI)=∣0.6−λ0.90.40.1−λ∣=(0.6−λ)(0.1−λ)−0.9×0.4=0.06−0.7λ+λ2−0.36=λ2−0.7λ−0.3=λ2−(1+(−0.3))λ+1×(−0.3)=(λ−1)(λ−(−0.3))\begin{aligned} det(A-\lambda I)&= \begin{vmatrix} 0.6-\lambda & 0.9 \\ 0.4 & 0.1-\lambda \end{vmatrix} \\ &=(0.6-\lambda)(0.1-\lambda)-0.9 \times 0.4 \\ &=0.06-0.7 \lambda + \lambda^{2}-0.36 \\ &=\lambda^{2}-0.7\lambda-0.3 \\ &=\lambda^{2}-(1+(-0.3))\lambda+ 1 \times (-0.3) \\ &=(\lambda -1)(\lambda-(-0.3)) \end{aligned}

解得 λ1=1\lambda_{1}=1 或 λ2=−0.3\lambda_{2}=-0.3

说明

由于 2×22 \times 2 矩阵 AA 具有 22 个不同的特征值，所以它会有两个线性独立的特征向量，即满足矩阵对角化的条件

由以上特征值构成的特征值矩阵 Λ=[1000.3]\Lambda=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0.3 \end{bmatrix}

所以当 k→∞k \to \infty 时，Λk\Lambda^{k} 的值为

Λk=[1k000.3k]→[1000]\Lambda^{k}= \begin{bmatrix} 1^{k} & 0 \\ 0 & 0.3^{k} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

将以上求得的所有特征值 λi\lambda_{i} 分别代入到方程 (A−λI)x=0(A-\lambda I)x=0 中求出所有特征向量

  • 当 λ1=1\lambda_{1}=1 时(A−λI)x=[−0.40.90.4−0.9](A-\lambda I)x= \begin{bmatrix} -0.4 & 0.9 \\ 0.4 & -0.9 \end{bmatrix}
    特解为 x1=[94]x_{1}=\begin{bmatrix} 9 \\ 4\end{bmatrix}
  • 当 λ1=−0.3\lambda_{1}=-0.3 时(A−λI)x=[0.90.90.40.4](A-\lambda I)x= \begin{bmatrix} 0.9 & 0.9 \\ 0.4 & 0.4 \end{bmatrix}
    特解为 x2=[1−1]x_{2}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}

由以上所求得的所有线性独立的特征向量构成矩阵 S=[914−1]S=\begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}

再根据逆矩阵的代数表达式 S−1=1detSCTS^{-1}=\cfrac{1}{detS}C^{T} 可得

S−1=1(9×−1)−(4×1)[−1−1−49]=113[114−9]\begin{aligned} S^{-1}&= \cfrac{1}{(9 \times -1)-(4 \times 1)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -4 & 9 \end{bmatrix} \\ &= \cfrac{1}{13} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -9 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以当 k→∞k \to \infty 时，SΛS−1S \Lambda S^{-1} 的值为

SΛkS−1=[914−1][1k000.3k]113[114−9]→[914−1][1000]113[114−9]=[9040]113[114−9]=113[9944]\begin{aligned} S \Lambda^{k} S^{-1}&= \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1^{k} & 0 \\ 0 & 0.3^{k} \end{bmatrix} \cfrac{1}{13} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -9 \end{bmatrix} \\ &{\color{Red}\to } \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {\color{Red}0 } \end{bmatrix} \cfrac{1}{13} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -9 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \cfrac{1}{13} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -9 \end{bmatrix} \\ &= \cfrac{1}{13} \begin{bmatrix} 9 & 9 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned}

观察式子的结构可知，当 k→∞k \to \infty 时，SΛS−1S \Lambda S^{-1} 的列向量趋于一个稳定值 steady state vector（与马尔科夫链相关 ❓）

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