L23-微分方程和exp(At)-习题集

参考

Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues - Differential Equations and exp(At) - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on differential equations and e^At | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on differential equations and e^At | pdf

问题 23.1

已知以下微分方程组（矩阵形式）的系数矩阵是反对称的 skew-symmetric 即满足 $A^{T}=-A$

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} u_{1}^{'}=cu_{2}-bu_{3} \\ u_{2}^{'}=au_{3}-cu_{1} \\ u_{3}^{'}=bu_{1}-au_{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}

可以将以上的微分方程组写成矩阵形式

令 $u=\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{bmatrix}$ 则以上微分方程组为

\cfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}= \begin{bmatrix} 0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0 \end{bmatrix}u

根据向量模长的平方的定义 $\Vert u \Vert^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}$ 求出 $\Vert u \Vert^{2}$ 的导数

并根据导数得出向量 $u$ 模长的变化趋势，以及 $u(t)$ 的范围

解答

链式法则

复合函数求导遵循链式法则，若 $g$ 是关于 $f$ 的函数 $f(g)$ ，而 $f$ 是关于 $a$ 的函数 $f(a)$ ，则 $g$ 的导数是 $g^{'}(a)=g^{'}[f(a)]\cdot f^{'}(a)$ （先对 $g$ 进行求导，再对 $f$ 进行求导，并将两者相乘）

例如 $x$ 是关于 $t$ 的函数 $x(t)$ ，而 $y$ 是关于 $x$ 的函数 $y=x^{2}$ ，则 $y$ 的导数是

y^{'}=2x\cdot x^{'}(t)

根据复合函数求导公式（链式法则）可得

\begin{aligned} \cfrac{\mathrm{d} \Vert u \Vert^{2}}{\mathrm{d} t}&= \cfrac{\mathrm{d} (u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2})}{\mathrm{d} t} \\ &=2u_{1}u_{1}^{'}+2u_{2}u_{2}^{'}+2u_{3}u_{3}^{'} \end{aligned}

将微分方程组代入上式可得

\begin{aligned} \cfrac{\mathrm{d} \Vert u \Vert^{2}}{\mathrm{d} t}&= 2u_{1}u_{1}^{'}+2u_{2}u_{2}^{'}+2u_{3}u_{3}^{'} \\ &=2u_{1}(cu_{2}-bu_{3})+2u_{2}(au_{3}-cu_{1})+2u_{3}(bu_{1}-au_{2}) \\ &=2({\color{Red}cu_{1}u_{2} }{\color{Blue} -bu_{1}u_{3}}{\color{Green} +au_{2}u_{3}}{\color{Red} -cu_{1}u_{2}}{\color{Blue} +bu_{1}u_{3}}{\color{Green} -au_{2}u_{3}}) \\ &=0 \end{aligned}

由于 $\Vert u \Vert^{2}$ 的导数恒为零，所以 $\Vert u \Vert^{2}$ 并不会随着 $t$ 变化，而根据微分方程组的结构可以看出向量 $u$ 的各个分量随着变量 $t$ 变化，所以这三个分量的变化应该是同步地，处于此消彼长的平衡，使得它们的平方和（即 $\Vert u \Vert^{2}$ ）不变

那么 $\Vert u(t) \Vert^{2}$ 就和 $\Vert u(0) \Vert^{2}$ （初始状态的模长的平方）相同，然后随着 $t$ 的变化，在向量空间中 $u(t)$ 会在以 $\Vert u(0) \Vert$ 的模长为半径的圆的圆周上变化，这样才可以保持 $\Vert u(t) \Vert^{2}$ 不变

问题 23.2

将以下矩阵 $A$ 写成 $S \Lambda S^{-1}$ 形式。计算 $Se^{\Lambda t}S^{-1}$ 来求得到矩阵指数 $e^{At}$ 。并通过计算当 $t=0$ 时 $e^{At}$ 及其导数的值来验证以上的求解是否正确。

解答

通过求解特征方程 $d(A-\lambda I)=0$ 得到所有特征值

\begin{aligned} d(A-\lambda I)&= \begin{bmatrix} 1- \lambda & 1 \\ 0 & 3- \lambda \end{bmatrix} \\ &=(1-\lambda)(3-\lambda) \\ &=0 \end{aligned}

解得 $\lambda_{1}=1$ 或 $\lambda_{2}=3$

将以上求得的所有特征值依次代入方程 $(A-\lambda I)x=0$ 求出相应的特征向量

当特征值为 $\lambda_{1}=1$ 时 $\begin{aligned} (A-\lambda I)x&=(A-I)x \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}x \\ &=0 \end{aligned}$
其中一个特解为 $x_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
当特征值为 $\lambda_{2}=3$ 时 $\begin{aligned} (A-\lambda I)x&=(A-I)x \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}x \\ &=0 \end{aligned}$
其中一个特解为 $x_{2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

可得特征向量矩阵 $S=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 特征值矩阵为 $\Lambda=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

根据逆矩阵的代数表达式可求得 $S^{-1}$

\begin{aligned} S^{-1}&=\cfrac{1}{detS}C^{T} \\ &=\cfrac{1}{1\times 2-1\times 0} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -\cfrac{1}{2} \\ 0 & \cfrac{1}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}

则矩阵 $A$ 的对角分解形式为

A=S \Lambda S^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}

计算矩阵指数 $e^{At}$

\begin{aligned} e^{At}&=Se^{\Lambda t}S^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} e^{t} & 0.5e^{3t}-0.5e^{t} \\ 0 & e^{3t} \end{bmatrix} \end{aligned}

当 $t=0$ 时，矩阵指数 $e^{At}$ 的值

\begin{aligned} e^{At}&= \begin{bmatrix} e^{0} & 0.5e^{3 \times 0}-0.5e^{0} \\ 0 & e^{3 \times 0} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=I \end{aligned}

从指数的幂级展开式来考虑/验证

e^{At}=I+At+\cfrac{(At)^{2}}{2}+\cfrac{(At)^{3}}{3}+\dots

当 $t=0$ 时，以上展开式除了第一项，余下的各项都是零，所以可得 $e^{At}=I$ 和前面所求的结果相同 ✅

矩阵指数 $e^{At}$ 的导数为（使用复合函数的链式法则进行求导）

\begin{aligned} \cfrac{\mathrm{d} e^{At}}{\mathrm{d} t}&= \cfrac{\mathrm{d} (Se^{\Lambda t}S^{-1})}{\mathrm{d} t} \\ &=S\cfrac{\mathrm{d} e^{\Lambda t}}{\mathrm{d} t}S^{-1} \\ &= S \begin{bmatrix} \lambda_{1}e^{\lambda_{1}t} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}e^{\lambda_{2}t} \end{bmatrix} S^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{t} & 0 \\ 0 & 3e^{3t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} e^{t} & 1.5e^{3t}-0.5e^{t} \\ 0 & 3e^{3t} \end{bmatrix} \end{aligned}

当 $t=0$ 时，则 $e^{At}$ 的导数值为

\begin{aligned} \cfrac{\mathrm{d} e^{At}}{\mathrm{d} t}&= \begin{bmatrix} e^{0} & 1.5e^{3 \times 0}-0.5e^{0} \\ 0 & 3e^{3 \times 0} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \\ &=A \end{aligned}

从指数函数的导数来考虑/验证（使用复合函数的链式法则进行求导）

\cfrac{\mathrm{d} e^{At}}{\mathrm{d} t}= Ae^{At}

当 $t=0$ 时，则 $e^{At}$ 的导数值为 $Ae^{A \times 0}=A$ ，所以可得 $e^{At}=I$ 和前面所求的结果相同 ✅