关于矩阵 $A$ 归属于哪些类型的矩阵：

• 观察矩阵 $A$ 的列向量，它们之间是相互线性独立的（对于行向量也一样），所以矩阵 $A$ 是可逆矩阵。
  也可以通过计算矩阵 $A$ 的特征值 $detA=-1 \ne 0$ 得到矩阵 $A$ 为可逆矩阵
• 对于正交矩阵的定义 $Q^{T}Q=I$ 来判断矩阵 $A$$$\begin{aligned} A^{T}A&= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=I \end{aligned}$$
  所以矩阵 $A$ 是正交矩阵
• 投影矩阵会满足两个特性 $P^{T}=P$ 和 $P^{2}=P$
  虽然矩阵 $A$ 满足 $A^{T}=A$
  但是对于 $A^{2}$$$\begin{aligned} A^{2}&= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &=I \ne A \end{aligned}$$
  所以矩阵 $A$ 不是投影矩阵
• 由于矩阵 $A$ 可以通过 $3 \times 3$ 的单位向量 $I$ 通过第一行和第三行之间的对调而得到，所以矩阵 $A$ 是置换矩阵
• 由于矩阵 $A$ 是对称矩阵，所以它是可对角化矩阵

关于矩阵 $A$ 可以进行哪些形式的分解：

• 由于矩阵 $A$ 的第一个元素 $a_{11}=0$ 所以无法进行消元步骤，所以无法分解为 $LU$ 形式（如果需要执行消元步骤，则先需要进行行置换操作，即 $PA=LU$）
• 由于矩阵 $A$ 的各个列向量都是相互独立的，所以可以进行 Gram-Schmidt 正交化分解 $A=QR$
• 由于矩阵 $A$ 是对称矩阵，所以它可以进行对角化分解 $A=S \Lambda S^{-1}$
• 由于矩阵 $A$ 是对称矩阵，所以它的各个特征向量都是相互垂直的，即对角化分解可以写成 $A=Q \Lambda Q^{T}$

关于矩阵 $B$ 归属于哪些类型的矩阵：

• 观察矩阵 $B$ 的列向量，它们之间是线性相关的，所以矩阵 $B$ 不是可逆矩阵。
  也可以通过计算矩阵 $B$ 的特征值 $detB=0$ 得到矩阵 $B$ 为奇异矩阵
• 对于正交矩阵的定义 $Q^{T}Q=I$ 来判断矩阵 $B$$$\begin{aligned} B^{T}B&= (\cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}) (\cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}) \\ &= \cfrac{1}{9} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &\ne I \end{aligned}$$
  所以矩阵 $B$ 是正交矩阵
• 投影矩阵会满足两个特性 $P^{T}=P$ 和 $P^{2}=P$
  观察矩阵 $B$ 可知满足 $B^{T}=B$
  而对于 $B^{2}$$$\begin{aligned} B^{2}&= (\cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}) (\cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix})\\ &= \cfrac{1}{9} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \cfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ &=B \end{aligned}$$
  矩阵 $B$ 满足 $B^{2}=B$
  所以矩阵 $B$ 是投影矩阵
  投影矩阵

  投影矩阵 $P$ 是相对于原矩阵 $A$ 而言的，其作用是将向量 $b$ 投影到矩阵 $A$ 的列空间中

  投影矩阵的表达式为 $P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}$ 该矩阵满足上述的两条特性，但是是否为充要条件在课程中并未证明

• 由于矩阵 $B$ 不可以基于单位向量 $I$ 的行置换而得到，所以矩阵 $B$ 不是置换矩阵
• 由于矩阵 $B$ 是对称矩阵，所以它是可对角化矩阵

关于矩阵 $B$ 可以进行哪些形式的分解：

• 矩阵 $B$ 可以通过执行消元步骤分解为 $LU$ 形式（只是所得的 $U$ 仅有一个主元，由于原矩阵 $B$ 是一个奇异矩阵，它的列向量之间线性相关）
• 由于矩阵 $B$ 的列向量是线性相关的，所以不能进行 Gram-Schmidt 正交化分解
• 由于矩阵 $B$ 是对称矩阵，所以它可以进行对角化分解 $B=S \Lambda S^{-1}$
• 由于矩阵 $B$ 是对称矩阵，所以它的各个特征向量都是相互垂直的，即对角化分解可以写成 $B=Q \Lambda Q^{T}$