测试 2

参考

Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues - Exam 2
题源：18.06SC Unit 1 Exam | pdf
参考答案：18.06SC Unit 1 Exam Solution | pdf

问题一

假设 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 、 $q_{3}$ 是向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中的正交向量，寻找以下一系列 $3 \times 3$ 矩阵的行列式的所有可能值，并用一句话来解释。

a. $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}$

b. $det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix}$

c. $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}$ 乘以 $det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & q_{1} \end{bmatrix}$

解答 a

以向量 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 、 $q_{3}$ 作为列向量所组成的矩阵记为 $Q$ ，由于这些向量是正交向量，所以矩阵 $Q$ 是正交矩阵，可得 $Q^{T}Q=I$ 相应的行列式为 $det(Q^{T}Q)=detI=1$

根据行列式的特性九可知 $det(Q^{T}Q)=(detQ^{T})(detQ)$

根据行列式的特性十可知 $detQ=detQ^{T}$

根据以上的分析可得

\begin{aligned} det(Q^{T}Q)&=(detQ^{T})(detQ) \\ &=(detQ)(detQ) \\ &=(detQ)^{2} \\ &=1 \end{aligned}

解得 $detQ=\pm 1$ 所以 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}=\pm 1$

解答 b

根据行列式的特性三之二可以基于矩阵的一行（或一列）的相加操作进行拆分（其他行保持不变）

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1}+q_{2} } & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1} } & q_{2}+q_{3} & {\color{Blue}q_{3}+q_{1} } \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{2} } & {\color{Green}q_{2}+q_{3} } & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} \\ &=det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1} } & q_{2}+q_{3} & {\color{Blue}q_{3} } \end{bmatrix}+det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1} } & q_{2}+q_{3} & {\color{Blue}q_{1} } \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{2} } & {\color{Green}q_{2} } & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{2} } & {\color{Green}q_{3} } & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

以上的运算步骤是对行列式按照列进行拆分

再根据行列式的特性四如果矩阵有两行相等，则行列式为 $0$ 可以对以上的等式进行化简

det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1}+q_{2} } & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} =det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{1} } & q_{2}+q_{3} & {\color{Blue}q_{3} } \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} {\color{Red}q_{2} } & {\color{Green}q_{3} } & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} \\

同理可对以上等式进一步化简

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{2}+q_{3} } & q_{3} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{3}+q_{1} } \end{bmatrix} \\ &=det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{2} } & q_{3} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{3} } & q_{3} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{3} } \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{1} } \end{bmatrix} \\ &=det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{2} } & q_{3} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{1} } \end{bmatrix} \end{aligned}

根据行列式的特性二如果交行矩阵的两行（或列），则行列式的正负符号会改变。由于以上等式中的行列式 $det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{1} } \end{bmatrix}$ 需要进行两次列交换可以得到行列式 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}$ 所以两者是相等的

由解答 a 可知 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}=\pm 1$ 则以上等式可以进一步化简

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{2} } & q_{3} \end{bmatrix} +det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & {\color{Purple}q_{1} } \end{bmatrix} \\ &=2det\begin{bmatrix} q_{1} & {\color{Orange}q_{2} } & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=\pm 2 \end{aligned}

提示

除了使用行列式的特性三之二对行列式进行拆分，也可以使用行列式的特性五对行列式进行变换

det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} =det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix}

以上变换是将矩阵的 $col2-col1$ 第二列减去第一列的结果向量作为第二列

然后将所得矩阵的 $col2+col3$ 第二列与第三列相加的结果向量作为第三列

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} \\ &=det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & 2q_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

然后使用行列式的特性三之一将以上所得矩阵的第三列的系数 $2$ 提取出来

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & 2q_{3} \end{bmatrix} \\ &=2det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & q_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

再将所得矩阵的 $col2-col3$ 第二列减去第三列的结果向量作为第二列

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=2det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1}+q_{3} & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=2det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1} & q_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

再将所得矩阵的 $col1+col2$ 第一列与第二列相加的结果向量作为第一列

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=2det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & -q_{1} & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=2det\begin{bmatrix} q_{2} & -q_{1} & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=-2det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{1} & q_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

然后使用行列式的特性二交换矩阵的第一列和第二列

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=-2det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{1} & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=2det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

由解答 a 可知 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}=\pm 1$ 所以以上行列式为

\begin{aligned} det\begin{bmatrix} q_{1}+q_{2} & q_{2}+q_{3} & q_{3}+q_{1} \end{bmatrix} &=2det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix} \\ &=\pm 2 \end{aligned}

解答 c

由解答 b 的分析可知 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}$ 与 $det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & q_{1} \end{bmatrix}$ 两者是相等的

并结合解答 a 可知 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}=\pm 1$

所以 $det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix} \times det\begin{bmatrix} q_{2} & q_{3} & q_{1} \end{bmatrix}=det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix} \times det\begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}=\pm 1$

问题二

假设在 21 个等间隔的时间点 $t=-10, -9, \dots , 9, 10$ 进行测量，所有结果都是 $b_{i}=0$ ，除了 $b_{11}=1$ （对应的时间点正好是位于中间的 $t=0$ ）

a. 使用直线 $C=Dt$ 拟合这 21 个数据点的，使用最小二乘法求出最佳拟合直线中的常数项 $\hat{C}$ 和系数 $\hat{D}$

b. 在使用最小二乘法求解最佳拟合直线时，从矩阵的角度看 $Ax=b$ 是将向量 $b$ 投影到哪个子空间，请给出该子空间的一组基，并找出一个垂直于该子空间的非零向量

解答 a

将 21 个数据点代入拟合直线 $C=Dt$ 中可以得到一个方程组，并将该方程组写成矩阵形式

\begin{bmatrix} 1 & -10 \\ 1 & -9 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 9 \\ 1 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C \\ D \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

由于以上的方程（ $Ax=b$ 形式）无解，所以需要转换为 $A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$ 形式，使得方程组由解 $\hat{x}$ （该解 $\hat{x}$ 是原方程 $Ax=b$ 的解的近似值，与最小二乘法的求解算法一样）

\begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & \dots & 1 & 1 \\ -10 & -9 & \dots & 0 & \dots & 9 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -10 \\ 1 & -9 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 9 \\ 1 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{C} \\ \hat{D} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & \dots & 1 & 1 \\ -10 & -9 & \dots & 0 & \dots & 9 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} (1+\dots+1) & ((-10)+(-9)+\dots+9+10) \\ ((-10)+(-9)+\dots+9+10) & ((-10)^{2}+(-9)^{2}+\dots+9^{2}+10^{2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{C} \\ \hat{D} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0+\dots+1+\dots+0 \\ 0+\dots+0+\dots+0 \end{bmatrix} \\ \Downarrow \\ \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 770 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{C} \\ \hat{D} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

解得 $\hat{C}=\cfrac{1}{21}$ 和 $\hat{D}=0$

解答 b

从矩阵的角度看，是将向量 $b$ 投影到矩阵 $A$ 的列空间

对于矩阵 $A$

A= \begin{bmatrix} 1 & -10 \\ 1 & -9 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 9 \\ 1 & 10 \end{bmatrix}

由于它是一个可逆矩阵（矩阵的各个列向量相互线性独立），所以矩阵 $A$ 的列空间可以由它的两个列向量张成，即列空间的一组基可以是 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} -10 \\ -9 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 9 \\ 10 \end{bmatrix}$

那么垂直于列空间的一个向量可以是 $b-P_{A}b$ （其中 $P_{A}$ 是投影矩阵，则 $P_{A}b$ 就是向量 $b$ 投影到列空间的分量，所以 $b-P_{A}b$ 就是误差向量，垂直于列空间）

其中投影矩阵为 $P_{A}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}$

由解答 a 可知

A^{T}A= \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 770 \end{bmatrix}

使用逆矩阵的代数表达式（由行列式和代数余子式构成）求解 $(A^{T}A)^{-1}$

\begin{aligned} (A^{T}A)^{-1}&= \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 770 \end{bmatrix}^{-1} \\ &=\cfrac{1}{ det \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ 0 & 770 \end{bmatrix} }C^{T} \\ &=\cfrac{1}{21 \times 770} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} \\ C_{12} & C_{22} \end{bmatrix} \\ &=\cfrac{1}{21 \times 770} \begin{bmatrix} 770 & 0 \\ 0 & 21 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1/21 & 0 \\ 0 & 1/770 \end{bmatrix} \end{aligned}

投影矩阵为

\begin{aligned} P_{A}&=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -10 \\ 1 & -9 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 9 \\ 1 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/21 & 0 \\ 0 & 1/770 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & \dots & 1 & 1 \\ -10 & -9 & \dots & 0 & \dots & 9 & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}

💡 答案显示为 $b-P_{A}b=\frac{1}{21}[(ten-1's) 20 (ten-1's)]^{T}$

问题三

Gram-Schmidt 正交化可以基于（在 $\mathbb{R}^{5}$ 向量空间中的）三个线性独立的向量 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 得到三个正交的向量 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 、 $q_{3}$ ，将向量 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 作为列向量构成矩阵 $A$ ，将向量 $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 、 $q_{3}$ 作为列向量构成矩阵 $Q$

a. 使用 $Q$ 和 $A$ 表示相应的投影矩阵 $P_{Q}$ 和 $P_{A}$

b. 两个投影矩阵相等 $P_{Q}=P_{A}$ 吗？ $P_{Q}$ 与 $Q$ 相乘的结果？投影矩阵的特征值 $detP_{Q}$ 是多少？

c. 假设 $a_{4}$ 是 $\mathbb{R}^{5}$ 向量空间中的另一个向量，而且 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 相互线性独立，则使用 Gram-Schmidt 正交化所得的相应正交向量 $q_{4}$ 等于以下哪个选项

$\cfrac{P_{Q}a_{4}}{\|P_{Q}a_{4}\|}$
$\cfrac{a_{4}-\frac{a_{4}^{T}a_{1}}{a_{1}^{T}a_{1}}a_{1}-\frac{a_{4}^{T}a_{2}}{a_{2}^{T}a_{2}}a_{2}-\frac{a_{4}^{T}a_{3}}{a_{3}^{T}a_{3}}a_{3}}{\|norm\ of\ that\ vector\|}$
$\cfrac{a_{4}-P_{A}a_{4}}{\|a_{4}-P_{A}a_{4\|}}$

解答 a

根据投影矩阵的公式可知

P_{A}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}

P_{Q}=Q(Q^{T}Q)^{-1}Q^{T}

由于 $Q$ 是正交矩阵，可得 $Q^{T}Q=I$ ，所以投影矩阵 $P_{Q}$ 可以进行化简

P_{Q}=Q(Q^{T}Q)^{-1}Q^{T}=QI^{-1}Q^{T}=QQ^{T}

解答 b

两个投影矩阵是相等的 $P_{A}=P_{Q}$ 因为矩阵 $A$ 和 $Q$ 的列空间是相同的，而投影矩阵的作用就是将任意向量投影到原矩阵的列空间，即矩阵 $A$ 和 $Q$ 分别对应的投影矩阵 $P_{A}$ 和 $P_{Q}$ 都是投影到相同的子空间，所以两者是相等的 $P_{A}=P_{Q}$

提示

也可以通过将矩阵 $A$ 进行正交分解 $A=QR$ ❓ 课堂上介绍 Gram-Schmidt 正交化，但并未介绍该公式

再代入到投影矩阵的公式中

\begin{aligned} P_{A}&=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} \\ &=QR[(QR)^{T}QR]^{-1}(QR)^{T} \\ &=QR[R^{T}Q^{T}QR]^{-1}R^{T}Q^{T} \\ &=QR[R^{T}IR]^{-1}R^{T}Q^{T}=QR[R^{T}R]^{-1}R^{T}Q^{T} \\ &=QRR^{-1}(R^{T})^{-1}R^{T}Q^{T} \\ &=QIIQ^{T} \\ &=QQ^{T}=P_{Q} \end{aligned}

由于投影矩阵 $P_{Q}$ 的作用是将任意向量 $v$ 投影到原矩阵 $Q$ 的列空间，如果该向量 $v$ 本来就在矩阵 $Q$ 的列空间中，则投影的结果向量等于其自身

$P_{Q}$ 与 $Q$ 相乘 $P_{Q}Q$ 从矩阵与列向量相乘的角度来考虑，即矩阵 $P_{Q}$ 分别与 $Q$ 中的列向量相乘（相当于将这些列向量投影到 $Q$ 的列空间中），由于这些列向量本来就在矩阵 $Q$ 的列空间中，所以投影结果等于列向量本身，即可得 $P_{Q}Q=Q$

投影矩阵的行列式为 $P_{Q}=0$ 由于 $P_{Q}=QQ^{T}$ 其中矩阵 $Q$ 的维度是 $5 \times 3$ ，而转置矩阵 $Q^{T}$ 的维度是 $3 \times 5$ ，而 $Q_{5 \times 3}Q_{3 \times 5}^{T}$ 的维度是 $5 \times 5$ 即投影矩阵的维度（与原矩阵的维度相比）「扩张」了，根据矩阵的乘法的特点（维度「扩张」是以为一些列/行向量（以某种倍数）重复了），就可知投影矩阵 $P_{Q}$ 是奇异矩阵（虽然原始矩阵 $Q$ 和 $Q^{T}$ 是可逆矩阵/正交矩阵），所以它的行列式为 $detP_{Q}=0$

解答 c

选择第 3 项 $\cfrac{a_{4}-P_{A}a_{4}}{\|a_{4}-P_{A}a_{4\|}}$

根据 Gram-Schmidt 正交化的算法步骤，正交向量 $q_{4}$ （也就是误差向量）是原向量 $a_{4}$ 减去投影向量（ $a_{4}$ 投影到矩阵 $A$ 的列空间的分量），即 $e=q_{4}=a_{4}-P_{A}a_{4}$ ，再除以该向量自身的模长 $\|a_{4}-P_{A}a_{4\|}$ 就可以得到标准正交向量

问题 4

$4 \times 4$ 矩阵的第一行和第一列有相同的元素 $x$ ，其他 $9$ 个元素可以是任意值

\begin{bmatrix} x & x & x & x \\ x & \ast & \ast & \ast \\ x & \ast & \ast & \ast \\ x & \ast & \ast & \ast \end{bmatrix}

a. 矩阵 $A$ 的行列式是一个关于 $x$ 的多项式，它的最高次数是多少？并解释原因。

b. 如果其他 $9$ 个元素构成一个单位矩阵 $I_{3 \times 3}$ 则矩阵 $A$ 的行列式是多少？当 $x$ 为何值时，矩阵 $A$ 的行列式为 $detA=0$

解答 a

行列式的通用公式如下

detA=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha }a_{2\beta }a_{3\gamma }\dots a_{n\omega }

该公式表示从每行（或每列）挑选一个元素相乘，然后将所有可能的组合相加（构成关于 $x$ 的多项式），由于这些元素不能在同一行（或同一列）上，所以关于 $x$ 的最高次数为 $2$

解答 b

其他 $9$ 个元素构成一个单位矩阵 $I_{3 \times 3}$ ，则矩阵 $A$ 的行列式如下

\begin{aligned} detA= det \begin{bmatrix} x & x & x & x \\ x & 1 & 0 & 0 \\ x & 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

根据行列式的特性三之一可以对某一行（或列）向量的元素「提取公因数」

\begin{aligned} detA&= det \begin{bmatrix} {\color{Red}x } & x & x & x \\ {\color{Red}x } & 1 & 0 & 0 \\ {\color{Red}x } & 0 & 1 & 0 \\ {\color{Red}x } & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &={\color{Red}x } det \begin{bmatrix} 1 & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

根据行列式的特性五将以上矩阵第第一列依次/分别减去第二、三、四列

\begin{aligned} detA&={\color{Red}x } det \begin{bmatrix} 1 & x & x & x \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &={\color{Red}x } det \begin{bmatrix} 1-3x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

再使用代数余子式对以上的行列式进行简化

\begin{aligned} detA&={\color{Red}x } det \begin{bmatrix} 1-3x & x & x & x \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &={\color{Red}x }(1-3x) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ =x(1-3x) \end{aligned}

提示

也可以不使用行列式的特性以及代数余子式对等式进行化简

直接使用行列式的通用公式进行求解

当行列式为 $detA=0$ 时，可得 $detA=x(1-3x)=0$ 解得 $x=0$ 或 $x=1/3$