假设矩阵的其中一个特征值为 $\lambda=i$ 相应的特征向量是 $x=\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}$

则 $Ax=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 \\ i \end{bmatrix}$

对于 $\lambda x=i\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} i^{2} \\ i \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 \\ i \end{bmatrix}$

所以 $\lambda=i$ 和 $x=\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}$ 可以使 $Ax=\lambda x$ 成立，即它们是矩阵 $A$ 的一个特征值和特征向量

复现以上的证明/推导过程，对于等式 $x^{T}Ax = \lambda x^{T}x$

左边为

右边为

所以特征值 $\lambda =i$ 和相应的特征向量 $x=\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}$ 可使等式 $x^{T}Ax = \lambda x^{T}x$ 成立

但是由于 $x^{T}x=\begin{bmatrix} i & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}=i^{2}+1=-1+1=0$

而在题目的证明过程中 $\lambda=\cfrac{x^{T}Ax}{x^{T}x}$ 需要满足一个隐藏的前提 $x^{T}x \ne 0$，这与上述所得矛盾，所以这一步的证明并不成立

在题目的证明过程中，对于非零向量 $x$ 假定其模长的平方 $x^{T}x=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}$ 不等于零的，这对于向量各元素 $x_{i}$ 都是实数才成立，而如果非零向量 $x$ 的元素中含有复数则不成立。

正定矩阵 $A$ 不能构成上述集合

以下是反例

对于正定矩阵 $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $B=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}$

它们的乘积为 $AB=\begin{bmatrix} 2.5 & 2 \\ 1.5 & 1.5 \end{bmatrix}$ 并不是对称矩阵（也就不是正定矩阵）

正交矩阵 $Q$ 可以构成上述集合

对于两个正交矩阵 $A$ 和 $B$

它们的乘积依然是正交矩阵

正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵 $A^{-1}=A^{T}$ 当矩阵 $A$ 是正交矩阵，则它的转置 $A^{T}$ 也是正交矩阵，所以 $A^{-1}$ 也是正交矩阵

以上证明了正交矩阵相乘和逆矩阵依然是正交矩阵，即对于矩阵的相乘和矩阵的求逆这两种操作是「封闭」，所以正交矩阵可以构成上述集合

幂矩阵 $e^{tA}$ 可以构成上述集合

对于两个幂矩阵 $e^{t_{1}A}$ 和 $e^{t_{2}A}$

它们的乘积依然是幂矩阵

对于 $(e^{tA})^{-1}=e^{-tA}$ 依然是幂矩阵

以上证明了幂矩阵相乘和「逆矩阵」（倒数 ❓ ）依然是幂矩阵，即对于矩阵的相乘和矩阵的求逆这两种操作是「封闭」，所以幂矩阵可以构成上述集合

行列式为 $1$ 的矩阵 $D$ 可以构成上述集合

对于两个行列式为 $1$ 的矩阵 $A$ 和 $B$

根据行列式的 特性九 可知它们的乘积的结果矩阵的行列式依然是 $1$

由于逆矩阵和原矩阵相乘得到单位矩阵 $A^{-1}A=I$ 根据行列式的 特性一 可知所以 $det(A^{-1}A)=detI=1$，再根据行列式的 特性九 可将相乘矩阵进行分解 $det(A^{-1}A)=det(A^{-1})detA=1$ 所以逆矩阵的行列式为 $det(A^{-1})=1/detA=1/1=1$

以上证明了行列式为 $1$ 的矩阵相乘和「逆矩阵」的行列式依然是 $1$，即对于矩阵的相乘和矩阵的求逆这两种操作是「封闭」，所以行列式为 $1$ 的矩阵可以构成上述集合