L27-复数矩阵和快速傅里叶变换-习题集

参考

问题 26.1

计算傅里叶矩阵 $F_{2}$

根据傅里叶矩阵的规律，可以得到

F_{2}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & w \end{bmatrix}

对于维度为 $2 \times 2$ 的傅里叶矩阵 $F_{2}$ ，构成矩阵各个元素的基本值 $w$ 满足 $w^{2}=1$ ，即 $w=e^{i2\pi/2}$ ，基于欧拉公式将其转换为三角函数，可得 $w=-1$

欧拉公式

可以使用欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将复指数函数转换为三角函数

如果不想进行复杂的三角函数运算，也可以借助这个在线计算器进行转换

所以傅里叶矩阵 $F_{2}$ 的具体值为

F_{2}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

求出以下傅里叶矩阵 $F_{4}$ 分解所得的矩阵 $D$ 和 $P$

F_{4}= \begin{bmatrix} I & D \\ I & -D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{2} & 0 \\ 0 & F_{2} \end{bmatrix} P

对于 $4 \times 4$ 傅里叶矩阵 $F_{4}$ 可以分解得到 $2 \times 2$ 的对角矩阵 $D$ 和 $4 \times 4$ 的置换矩阵 $P$

根据分解公式对角矩阵 $D$ 为

D= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & w \end{bmatrix}

对于 $4 \times 4$ 傅里叶矩阵 $F_{4}$ 其中 $w$ 满足 $w^{4}=1$ ，即 $w=e^{i2\pi/4}$ ，基于欧拉公式将其转换为三角函数，可得 $w=e^{i\pi/2}=i$

所以对角矩阵 $D$ 的具体值为

D= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}

根据分解公式置换矩阵 $P$ 为

P= \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } & 0 \\ 0 & {\color{Blue}1 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{Blue}1 } \end{bmatrix}

提示

它的作用是调换向量元素的位置，通过与向量相乘 $Px$ ，将向量（索引值从 $0$ 开始）偶数位置的都元素提前，然后再是奇数位置的元素

P \begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{0} \\ x_{2} \\ x_{1} \\ x_{3} \end{bmatrix}