L1-线性方程组的几何表示

线性代数的基本应用是解方程组，从几何的角度来看待线性代数和方程组的解。

参考

线性代数的基本应用是解方程组，对于 $n$ 维方程组（有 $n$ 个未知数和 $n$ 个方程）可以通过三种观点/角度来求解：

对于一个二元方程组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 2x-y = 0\\ -x+2y = 3\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}

行图像 row picture

将每个（每一行）方程的图像画出来就得到行图像，对于二元方程组，行图像中两条直线的交点的坐标就是方程组的解。

劣势

该可视化的解法对于高维度的方程组不太适用，由于高维度的图像无法在二维直角坐标系中直观绘出。

将方程组进行「向量化」，即把未知数的系数作为向量（列向量），把方程组等号右侧的数值作为目标向量，写出如下形式：

\begin{aligned} x \begin{bmatrix} {\color{blue} 2} \\ {\color{blue} -1} \end{bmatrix}+ y \begin{bmatrix} {\color{red} -1} \\ {\color{red} 2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{green} 0} \\ {\color{green} 3} \end{bmatrix} \end{aligned}

那么方程组的解（一组 $x$ 和 $y$ 的值）就是能够使这些列向量的线性组合等于目标向量的向量的倍数。

作出向量图，这就是列图像

可以看出当 $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$ 时，这样的向量的线性组合使等式成立

列图像实际是将方程组看作系数向量的线性组合 $n \cdot col1 + m \cdot col2 = col3$ ，该方法可以扩展并适用于更高维的方程组。

其中 $col1$ 、 $col2$ 是二元方程组的对应系数所组成的列向量， $col3$ 是目标向量， $n$ 、 $m$ 是方程组的未知数

可逆矩阵

可逆矩阵（非奇异矩阵 non-singular matrix）是指由方程组未知数的系数所组成的一系列列向量所构成的矩阵，这些列向量满足一个条件：

它们每个都是方向不同（不重合的），称为线性独立/不相关 linear independence

因此可以通过这些列向量的任意线性组合，实现所在维度的空间全覆盖

将方程组写成矩阵形式 $Ax=b$ ，公式中各参数的含义：

对于本文开头的方程组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 2x-y = 0\\ -x+2y = 3\\ \end{matrix}\right. \end{aligned}

它所对应的矩阵形式

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2&-1 \\ -1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

提示

对于方程组的解 $\begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}$ 可以有两种方式理解，分别对应于 矩阵 $\times$ 向量 的两种运算规则：

一种理解方式是：将系数矩阵看作以列形式组合，则将未知数（即方程组的解）构成的向量看作是系数矩阵各列的线性组合的系数，因此将未知数向量的各数分别与矩阵相应列相乘，再相加，就可以得到目标向量

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Blue}1} \\ {\color{Orange}2} \end{bmatrix} & = {\color{Blue}1 }\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + {\color{Orange}2 } \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

另一种理解方式是：将系数矩阵看作以行形式组合，将未知数（即方程组的解）构成的向量分别与矩阵相应行相乘（点乘），就可以得到目标向量

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 &-1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 2 \times 1 + (-1) \times 2 \\ (-1) \times 1 + 2 \times 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}

向量点乘规则

\begin{aligned} \begin{bmatrix} {\color{Blue}2 } & {\color{Orange}5 } \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {\color{Blue}1 } \\ {\color{Orange}2 } \end{bmatrix} & = {\color{Blue}2 } \times {\color{Blue}1 } + {\color{Orange}5 } \times {\color{Orange}2 } & = 12 \end{aligned}