L6-列空间和零空间

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - Column Space and Nullspace | pdf
课本章节：Section 3.1 through 3.2 in the 4^th or 5^th edition
练习题：L6-列空间和零空间-习题集

列空间 C(A)

对于矩阵 $A$

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}

其列空间是由矩阵 $A$ 的 3 个列向量的所有可能的线性组合构成的向量集合，记作 $C(A)$

它是 $\mathbb{R}^{4}$ 的子空间，而且由于 $A$ 是 $4 \times 3$ 矩阵（只有 3 个列向量），因此该列空间是 $\mathbb{R}^{4}$ 的真子空间。

提示

列空间是为了研究方程组（矩阵形式） $Ax=b$ 是否有解这类问题而构建出来的。

\begin{aligned} Ax= \begin{bmatrix} 1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ b_{4} \end{bmatrix}= b \end{aligned}

对于示例中的方程组，当解存在时（不同情况），求向量 $b$ 的特点：

当 $b=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$ 时方程组必有解，因为一定有一个解为 $x=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$
换另一种角度，可以先给出 $x$ 值，通过 $Ax$ 计算得到 $b$ ，则当 $b$ 为该值时，必然有对应的 $x$ 值，即存在解。
因此当 $x=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 时，得到 $b=\begin{bmatrix}4\\6\\8\\10\end{bmatrix}$
还有很多不同的 $x$ 值，对应可以得到相应的 $b$ 值。
从矩阵与向量相乘的角度考虑，结果向量 $b$ 就是系数矩阵 $A$ 各列基于 $x$ 作为系数进行线性组合得到的，因此只要 $b$ 在列空间 $C(A)$ 中，则方程组 $Ax=b$ 就有解。
即当向量 $b$ 在列空间 $C(A)$ 中，必然存在系数使得矩阵各列进行线性组合得到 $b$ ，而该线性组合的系数就是该方程组的解 $x$

提示

对于方程组 $Ax=b$ ，观察系数矩阵 $A$ 可知 $col3=col1+col2$

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

因此矩阵 $A$ 各列并不独立（它们线性相关），所以列空间 $C(A)$ 实际是由其中两个向量张成得到的（另一个向量并无「贡献」）是 $\mathbb{R}^{4}$ 中的二维子空间。

零空间 N(A)

零空间 Null Space 是指使方程组 $Ax=0$ 成立的所有（列向量） $x$ 构成的向量集合，记作 $N(A)$ 。

注意

零空间所对应的方程组是有特殊形式的，相当于 $Ax=b$ 中使得 $b=0$

另外，零空间是由所有具体的解 $x$ （列向量的形式）构成的，而不是指它们张成的/线性组合而成的集合

\begin{aligned} Ax= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} & = 0 \end{aligned}

可以尝试写出一些使得等式成立的解（其中零向量必然使等式成立）

\begin{aligned} x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x= \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

观察系数矩阵 $A$ ，可知 $col3=col1+col2$ ，因此可以写出解的一般形式为 $c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\\end{bmatrix}$ ，其中 $c$ 是系数

该示例中所有使等式 $Ax=0$ 成立的解 $x$ 构成向量集合，其几何形式是 $\mathbb{R}^{3}$ 中过原点的一条直线，向量 $\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\\end{bmatrix}$ 在直线上。

$Ax=0$ 的所有解 $x$ 的集合，总是可以构成向量空间（子空间），即零空间 N(A) 是一个向量空间

证明

假设存在两个解 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 使得等式 $Ax=0$ 成立，则由 $A\vec{v}+A\vec{w}=A(\vec{v}+\vec{w})=0$ 成立，所以 $\vec{v}+\vec{w}$ 也是等式 $Ax=0$ 的解，即 $\vec{v}+\vec{w}$ 仍在零空间中，所以零空间对于向量相加运算是封闭的；类似地，零空间对于向量的数乘运算也是封闭的。

所以 $Ax=0$ 的所有解 $x$ 构成的向量集合，即零空间，是一个向量空间。

注意区分

如果对于以上例子 $Ax=b$ 等式中，当 $b \neq 0$ 时，则由方程组的所有解 $x$ 构成的向量集合，并不能构成向量空间，由于零向量并不包含在该集合中，如果 $x$ 维度是 $\mathbb{R}^{3}$ ，则所有解构成的集合的几何形状是一条不过原点的直线。

C(A) vs N(A)

对于矩阵 $A$

\begin{aligned} A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}

	列空间 $C(A)$	零空间 $N(A)$
区别	基于方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵 $A$ 的列（向量）张成（所有可能的线性组合）的空间	基于方程组 $Ax=b$ 当结果向量为 $0$ 时，使得等式成立的所有具体的解 $x$ 构成的空间
维度	$\mathbb{R}^{4}$ 的子空间	$\mathbb{R}^{3}$ 的子空间