L13-复习一

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - EXAM 1 REVIEW | pdf
课本章节：Review Chapters 1, 2, and 3, plus Section 8.2 in the 4^th edition or Chapters 1, 2, and 3, plus Section 10.1 in the 5^th edition
测试 1

样题一

假设 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 是 $\mathbb{R}^{7}$ 空间内的非零向量，它们如果张成一个向量空间（属于 $\mathbb{R}^{7}$ 的子空间），则空间的维度是多少？

解答

由于向量 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 都是非零向量，所以不管它们是否线性相关，子空间的维度都不会是 $0$ （只有三个向量均为零向量时，子空间的维度才会是 $0$ ）

如果向量 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 是线性相关的，则该子空间的维度是 $dim=1$
如果向量 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 中有两个是线性相关的，则该子空间的维度是 $dim=2$
如果向量 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 是线性无关的，则该子空间的维度是 $dim=3$

样题二

假设一个 $5 \times 3$ 的矩阵 $R$ 是简化行阶梯形式 Reduce Row Echelon Form，它的秩为 $r=3$ （即有 $3$ 个主元），回答以下问题：

求矩阵 $R$ 的零空间？
令矩阵 $B=\begin{bmatrix} R \\ 2R \end{bmatrix}$ ，即由 $R$ 构成一个 $10 \times 3$ 的矩阵，那么矩阵 $B$ 的简化行阶梯形式是怎样的？
求矩阵 $B$ 的秩？
令矩阵 $C=\begin{bmatrix} R & R \\ R & R \end{bmatrix}$ ，矩阵 $C$ 的简化行阶梯形式是怎样的？
求矩阵 $C$ 的秩？

说明

简化行阶梯形式 Reduce Row Echelon Form 是使用消元法（方程组中各等式之间作差，或等式内初一系数进行化简）进一步将阶梯形式的矩阵 $U$ 化简为主元为 $1$ ，主元所在列上下元素都为 $0$ 的形式，记作 $R$

解答 1

根据公式可知矩阵 $R$ 的零空间维度是 $dimN(R)=n-r$ ，其中秩为 $r=3$ ，而列数为 $n=3$ ，即维度 $dimN(R)=3-3=0$ ，所以矩阵 $R$ 的零空间中只有零向量 $N(R)=\{0\}$

解答 2

将矩阵 $R$ 看作一个整体，则矩阵 $B$ 通过消元变换得到 $\begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix}$ ，其中矩阵 $R$ 本身就是简化行阶梯形式，所以矩阵 $B$ 的简化行阶梯形式就是

\begin{aligned} \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

解答 3

观察矩阵 $B$ 的简化行阶梯形式 $\begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix}$ 可知其秩就是矩阵 $R$ 的秩，即 $r=3$

解答 4

将矩阵 $R$ 看作一个整体，则矩阵 $C$ 通过消元变换可以得到一个类似于简化行阶梯形式的矩阵

\begin{aligned} C= \begin{bmatrix} R & R \\ R & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} R & R \\ 0 & -R \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & -R \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & R \end{bmatrix} \end{aligned}

虽然矩阵 $R$ 本身是简化行阶梯形式，但是 $\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & R \end{bmatrix}$ 并不一定是简化行阶梯形式，因为 $R$ 的最后可能存在几行元素全为 $0$ 的情况.

所以最后可能还需要对矩阵 $\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & R \end{bmatrix}$ 进行调整，将元素全为 $0$ 的行置换到最后面的行才符合简化行阶梯形式

解答 5

观察矩阵 $C$ 的简化行阶梯形式 $\begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & R \end{bmatrix}$ 可知其秩实际是由矩阵 $R$ 的秩决定的，即 $r=2 \times 3=6$

样题三

对于方程组 $Ax=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

已知通解为

x= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

回答以下问题：

矩阵 $A$ 的形状
矩阵 $A$ 的行空间维度
求出矩阵 $A$
当向量 $b$ 满足什么条件时，方程组 $Ax=b$ 有解

解答 1

由方程组 $Ax=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ 的形式可知矩阵 $A$ 的行数为 $m=3$

由方程组的通解 $x$ 的形式可知矩阵 $A$ 的列数为 $n=3$

所以矩阵 $A$ 的形状是 $3 \times 3$

解答 2

因为方程组 $Ax=b$ 的通解是由一个特解和零空间构成的，所以通过观察方程组的通解 $x$ 的形式可知，矩阵 $A$ 的零空间维度是 $dimN(A)=n-r=2$ ，因此秩 $r=n-2=3-2=1$

所以矩阵 $A$ 的行空间维度是 $dimC(A^{T})=1$

解答 3

因为方程组 $Ax=b$ 的通解是由一个特解和零空间构成的

所以观察通解 $x$ 的结构可知，向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是方程组的一个特解 $Ax=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$

假设系数矩阵为

\begin{aligned} \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix} \end{aligned}

将特解带入方程组 $Ax=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ 可得

\begin{aligned} Ax= \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2a_{1} \\ 2a_{2} \\ 2a_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以求出矩阵 $A$ 的第一列元素

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} a_{1}=1 \\ a_{2}=2 \\ a_{3}=1 \end{matrix}\right. \end{aligned}

观察通解 $x$ 的结构可知，可知零空间是 $c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

所以向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是方程组 $Ax=0$ 的两个特解

将特解带入方程组 $Ax=0$ 可得

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 1+b_{1} = 0 \\ 1+b_{2} = 0 \\ 1+b_{3} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

和

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} c_{1} = 0 \\ c_{2} = 0 \\ c_{3} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

解得

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} b_{1} = -1 \\ b_{2} = -1 \\ b_{3} = -1 \end{matrix}\right. , \left\{\begin{matrix} c_{1} = 0 \\ c_{2} = 0 \\ c_{3} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

所以矩阵 $A$ 为

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

解答 4

当向量 $b$ 在矩阵 $A$ 的列空间 $C(A)$ 里，则方程组 $Ax=b$ 就必有解

观察矩阵 $A$ 可知它的 $3$ 个列向量都是线性相关的，所以秩 $r=1$ （只有一个主元），由此可知列空间的维度是 $dimC(A)=r=1$ ，只需要一个列向量就可以张成列空间。

所以 $C(A)=\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

当方程组 $Ax=b$ 有解，则向量 $b$ 需要在矩阵 $A$ 的列空间中，即向量 $b$ 需要满足以下条件（是向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的倍数）

\begin{aligned} b=c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c \\ 2c \\ c \end{bmatrix} \end{aligned}

样题四

已知矩阵 $B$ 由矩阵 $C$ 和 $D$ 相乘而得

\begin{aligned} B=CD \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

在不做乘法运算得出结果前，通过分析矩阵 $C$ 和 $D$ 以及矩阵的相关概念来回答以下问题：

写出矩阵 $B$ 的零空间的一组基
寻找方程组 $Bx=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的通解

解答 1

以行向量与矩阵相乘的角度来看待 $CD$ 两矩阵相乘，即矩阵 $B$ 的行向量是矩阵 $D$ 各行进行线性组合得到的，而线性组合的系数则是来自矩阵 $C$ 的相应的行。

证明

对于方程组 $CDx=0$ ，它的所有解 $x$ 构成了零空间。

当矩阵 $C$ 为可逆矩阵时，则矩阵 $C$ 存在逆矩阵 $C^{-1}$ 。

在方程组 $CDx=0$ 的两边乘上逆矩阵 $C^{-1}$ 等式仍成立，即 $C^{-1}CDx=C^{-1}0=0$ ，而且方程组的解不变。

因此方程组 $CDx=0$ 的零空间和 $Dx=0$ 的零空间相同。

观察矩阵 $C=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 可知它是可逆矩阵。

则矩阵 $D$ 将各行向量基于矩阵 $C$ 相应的行进行线性组合而得到矩阵 $B$ ，该过程并没有改变零空间，即矩阵 $D$ 的零空间和矩阵 $B$ 的零空间相同 $N(D)=N(B)$ 。

求解方程组 $Dx=0$ ，观察矩阵 $D$ 可知它的零空间的维度是 $dimN(D)=2$ （只有两个自由变量），因此只需要 $2$ 个特解就可以张成零空间。

\begin{aligned} Dx= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= 0 \end{aligned}

如果取 $x_{4}=0$ 、 $x_{3}=1$ ，带入方程组可以得到一个特解

\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

如果取 $x_{4}=1$ 、 $x_{3}=0$ ，带入方程组可以得到另一个特解

\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

所以矩阵 $B$ 的零空间的一组基是

\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

解答 2

方程组 $Bx=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的通解是由特解和零空间构成的。

在解答 1 中已经得到了零空间

c \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

观察矩阵 $B$

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

它的第一列恰好与方程组的右侧向量 $b$ 相同，所以可以直接写出方程组 $bx=b$ 的一个特解

\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

将它们组合起来就得到方程组 $Bx=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的通解

x= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

样题六

一些判断题

如果方阵 $A$ 零空间只包含零向量，那么它的转置矩阵 $A^{T}$ 的零空间是否也只包含零向量？

答案：True

解析：因为方阵 $A$ 的形状（行数量和列数量）是 $m=n$ ，而零空间只包含零向量，表示零空间的维度是 $dimN(A)=n-r=0$ ，即矩阵的秩是 $r=n$ ，所以转置矩阵的零空间的维度是 $dimN(A^{T})=m-r=m-n=0$ ，所以左零空间中也只包含零向量 $N(A^{T})=\{0\}$

由 $5 \times 5$ 矩阵组成的一个向量空间，其中所有的可逆矩阵是否可以构成一个空间（矩阵空间）

答案：False

解析：其中一个反例是将两个相同的可逆矩阵作差，会得到「零矩阵」（各元素都是 $0$ 的矩阵），但是可逆矩阵并不包含「零矩阵」（因为该矩阵线性相关），所以所有的可逆矩阵不能构成一个空间（矩阵空间）

说明

「空间」都是包含「零」，如向量空间，必须包含零向量，这样才可以对线性组合「封闭」

可逆矩阵是指矩阵的各列向量都是线性独立，从秩的角度来考虑就是该矩阵是一个列满秩 $r=n$ 的矩阵。

如果矩阵 $B$ 的平方（两个矩阵相乘） $B^{2}=0$ 则矩阵 $B$ 是否必须为 $0$

答案：False

解析：由于矩阵 $B$ 可以与自身相乘，所以矩阵 $B$ 是方阵，但是它并不一定是「零矩阵」，其中一个反例是 $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

说明

矩阵相乘可以从行向量与矩阵相乘的角度来考虑，则矩阵 $B^{2}$ 其实是矩阵的 $B$ 的各行进行线性组合得到的，而线性组合的系数是来自矩阵 $B$ 的相应行，这样就不必要求 $B$ 必须为「零矩阵」，只需要通过系数来控制最终各行的线性组合得到的值是零即可。

对于方程组 $Ax=b$ 有 $n$ 个未知数，和 $n$ 个方程组（即矩阵 $A$ 的形状是 $n \times n$ ），当矩阵 $A$ 各列向量线性无关时，是否对于任意 $b$ 方程组都存在解

答案：True

解析：当方阵 $A_{n \times n}$ 各列向量线性无关时，即方阵满秩 $r=n=m$ 。根据方程组 $Ax=b$ 可解性的规律，当方程组的系数矩阵 $A$ 是一个方阵且方阵满秩时，方程组 $Ax=b$ 必有而且仅有一个解

提示

可以从可逆矩阵的角度来考虑。

当方阵 $A_{n \times n}$ 各列向量线性无关时，则矩阵 $A$ 是一个可逆矩阵，存在逆矩阵 $A^{-1}$

在方程组两边乘上逆矩阵，方程组等式仍成立，即 $A^{-1}Ax=A^{-1}b$ ，得到 $x=A^{-1}b$ 就是方程组的唯一解

如果矩阵的形状 $m=n$ ，那么矩阵的列空间与行空间相等

答案：False

解析：需要从四种空间的定义入手考虑，行空间是由矩阵的各行向量的线性组合构成的，列空间是由矩阵的各列向量的线性组合构成的。即使矩阵 $m=n$ 行数和列数相等，但是各行向量和各列向量也不一定相等。

矩阵 $A$ 和矩阵 $-A$ 的四种空间是否相同。

答案：True

解析：需要从四种空间的定义入手考虑，它们都是由相应的向量（线性组合）张成的，在线性组合中包括一种操作是数乘，其中相乘因子可以是 $-1$ （则 $A$ 和 $-A$ 的四种空间所包含的向量其实是一样的）

如果矩阵 $A$ 和 $B$ 的四种空间是相同的，那么 $A$ 与 $B$ 是倍数关系。

答案：False

解析：一个反例是当矩阵是可逆矩阵，且它是方阵时。例如对于可逆的 $3 \times 3$ 的方阵，只要它的秩（主元数量）为 $r=3$ 时，那么它的行空间和列空间的维度都是 $3$ ，都是 $\mathbb{R}^{3}$ 。而零空间和左零空间的维度都是 $0$ ，都是零向量 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 。所以只要是形状相同的满秩的方阵，它们的四种空间都会相同。

如果将矩阵 $A$ 的两行相互交换，则与矩阵相关的哪些空间是不变的？

答案：行空间和零空间

解析：因为行空间 $C(A^{T})$ 是由矩阵 $A$ 的各行向量的线性组合构成的，而矩阵的两行相互交行时并没有改变行向量的各元素，所以不影响行空间；而零空间是由方程组 $Ax=0$ 的所有解构成的，矩阵的两行相互交换只是相当于调整了方程组的等式的顺序，不影响方程组的解，所以也不影响零空间

为什么说向量 $v=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 不可能在一个矩阵 $A$ 的某一行，同时在该矩阵的零空间中？

解析：可以用反证法来证明。先假设向量 $v=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 是可以满足题目的条件的，则它在 $A_{3 \times 3}$ 矩阵的第 $i$ 行，由于该向量也在零空间中，所以它是方程组 $Ax=0$ 的一个解，将 $v$ 带入方程组中，那么 $Av$ 相乘时，矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与 $v$ 相乘就会得到 $1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 =14$ ，而不是 $0$ ，这和方程组 $Ax=0$ 矛盾。所以如题目所说向量 $v$ 不能同时满足两个条件。

提示

其实这是零空间与行空间的交集问题，在后面的章节会讲到。

对于方阵 $A_{n \times n}$ ，其零空间和行空间都是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间，这两个子空间是正交的 perpendicular，它们两个交集的唯一元素是零向量