• 示例 1：投影操作是一种线性变换，例如将 $\mathbb{R}^{2}$ 平面内的一个向量变成/映射为另一个向量（总是在一条直线 $l$ 上） $T: \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$ 其中 $T$ 是映射规则，即每一个向量 $v$ 投影结果为 $T(v)$（在直线 $l$ 上）
• 反例 1：向量与一个固定大小的向量 $v_{0}$ 相加的变换 $T(v)=v+v_{0}$，则不是一种线性变换，由于不一定满足线性变换定义中的第二个等式，即 $T(2v)=2v+v_{0} \ne 2T(v)$
• 反例 2：求向量长度的操作并不是一种线性变换，$T(v)=\|v\|$ 例如向量 $v$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 空间中，则该变换可以实现向量从三维空间 $\mathbb{R}^{3}$ 到一维 $\mathbb{R}$ 空间的映射。虽然满足 $T(0)=0$，但是对于数乘，如果系数 $c$ 为负数，则不满足公式 $T(cv)=cT(v)$
• 示例 2：旋转 $45^\circ$ 的操作是一个线性变换，例如将 $\mathbb{R}^{2}$ 平面内的向量 $v$ 旋转 $45^\circ$ 得到的结果向量是 $T(v)$，线性变换实现了一种映射 $T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$

• 示例 1：矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 所描述的一种线性变换是关于 $x$ 轴对称，因为将一个在 $\mathbb{R}^{2}$ 空间的向量 $v=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 与矩阵（右乘）相乘时，所得到的结果向量为 $Av=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}$ 它的横坐标值保持不变，纵坐标值与原向量相反，则线性变换 $v \longmapsto Av$ 表示 $xy$ 平面关于 $x$ 轴的对称操作（从几何角度来理解该线性变换/矩阵的作用/效果）
• 示例 2：假设 $T$ 表示一种线性变换 $T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$ 可以实现将输入的三维空间的向量，转换输出为二维空间的向量。如果用矩阵 $A$ 来表示这种线性变换 $T(v)=Av$，根据矩阵的乘法法则，可得矩阵的形状为 $A_{2 \times 3}$

在前面的「补充知识」分析中，可以使用一组基向量及其相应的变换结果来描述 linear transformation 线性变换，它不基于坐标系，但只需要将表达形式稍作调整，就可以得到基于坐标系的方式，即采用一个矩阵 $A$ 来描述线性变换

使用一个矩阵 $A$ 表示/描述一种线性变换 $T: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}$ 需要执行以下步骤：

• 首先需要引入坐标系（即将向量表示为坐标值形式）
  根据以上「坐标系」的介绍，需要分别为空间 $\mathbb{R}^{n}$ 和空间 $\mathbb{R}^{m}$ 选取一组基向量，以表示空间中的任意向量
  • $\mathbb{R}^{n}$ 空间中的一组基向量为 $v_{1} \dots v_{n}$
  • $\mathbb{R}^{m}$ 空间中的一组基向量为 $w_{1} \dots w_{m}$
  
  则这两个空间中的任意向量的坐标值形式为
  • $\mathbb{R}^{n}$ 空间中的任意向量 $v=c_{1}v_{1}+\dots+c_{n}v_{n} \Leftrightarrow v=\begin{bmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}$
  • $\mathbb{R}^{m}$ 空间中的任意向量 $w=d_{1}w_{1}+\dots+d_{m}w_{m} \Leftrightarrow w=\begin{bmatrix} d_{1} \\ \vdots \\ d_{m} \end{bmatrix}$
• 构建出表示线性变换的矩阵
  由于线性变换的作用是将原向量 $v$ 映射到 $\mathbb{R}^{m}$ 空间中，那么所得的结果向量 $T(v)$ 可以使用 $\mathbb{R}^{m}$ 空间中的一组基向量 $w_{1} \dots w_{m}$ 来表示，例如对于第一个基向量 $v_{1}$ 进行线性变换，可以将结果向量表示为 $T(v_{1})=a_{11}w_{1}+a_{21}w_{2}+ \dots + a_{1m}w_{m}$
  根据前面「补充知识」里的分析，为了描述一个线性变换，需要确定一组基向量，并知道它们相应的变换结果，所以还需要计算 $\mathbb{R}^{n}$ 空间中的一组基向量为 $v_{1} \dots v_{n}$ 的线性变换结果（用 $\mathbb{R}^{m}$ 空间中的一组基向量表示）$$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} T(v_{1})={\color{Blue}a_{11} }w_{1}+{\color{Blue}a_{21} }w_{2}+ \dots + {\color{Blue}a_{m1} }w_{m} \\ T(v_{2})={\color{Green}a_{12} }w_{1}+{\color{Green}a_{22} }w_{2}+ \dots + {\color{Green}a_{m2} }w_{m} \\ \vdots \\ T(v_{i})={\color{Red}a_{1i} }w_{1}+{\color{Red}a_{2i} }w_{2}+ \dots + {\color{Red}a_{mi} }w_{m} \\ \vdots \\ T(v_{n})=a_{1n}w_{1}+a_{2n}w_{2}+ \dots + a_{mn}w_{m} \\ \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  类比向量「坐标化」的方法，提取各个基向量的系数构成了矩阵 $A$ 中各个元素的值，其规则是
  • 第一个基向量 $v_{1}$ 线性变换所得的结果表达式中的系数作为矩阵 $A$ 的第一列$$\begin{bmatrix} {\color{Blue}a_{11} } \\ {\color{Blue}a_{21} } \\ {\color{Blue}\vdots } \\ {\color{Blue}a_{m1} } \end{bmatrix}$$
  • 第二个基向量 $v_{1}$ 线性变换所得的结果表达式中的系数作为矩阵 $A$ 的第一列 $\begin{bmatrix} {\color{Green}a_{12} } \\ {\color{Green}a_{22} } \\ {\color{Green}\vdots } \\ {\color{Green}a_{m2} } \end{bmatrix}$
  • 依此类推
  $$A= \begin{bmatrix} {\color{Blue}a_{11} } & {\color{Green}a_{12} } & \dots & {\color{Red}a_{1i} } & \dots & a_{1n} \\ {\color{Blue}a_{21} } & {\color{Green}a_{22} } & \dots & {\color{Red}a_{2i} } & \dots & a_{2n} \\ {\color{Blue}\vdots } & {\color{Green}\vdots } & \vdots & {\color{Red}\vdots } & \vdots & \vdots \\ {\color{Blue}a_{m1} } & {\color{Green}a_{m2} } & \dots & {\color{Red}a_{mi} } & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

投影矩阵对应于一种线性变换操作，例如对于 $\mathbb{R}^{2}$ 空间中的投影矩阵，其作用是将平面的任意向量投影到一条直线上

为了简化运算，所选取沿投影直线 $l$ 方向的单位向量 $v_{1}$，以及垂直于直线 $l$ 方向的单位向量 $v_{2}$ 作为一组基向量。由于投影后的向量在同一个平面里，所以可以采用相同的一组基向量来描述结果空间，即 $w_{1}=v_{1}, w_{2}=v_{2}$（实际上在直线上的向量只需要一个基向量 $w_{1}$ 就可以表示），这一组基向量满足投影后保持不变

根据以上等式，提取各个基向量的系数，可以构建出矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

所得到的矩阵正好是一个对角矩阵 $\Lambda$。如果所选取的一组基向量正好是该矩阵的特征向量，则线性变换所对应的矩阵是对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值（ ❓ 先有鸡还是先有蛋的问题）

求导也是一种线性变换 $T=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$

例如对二次幂多项式进行求导操作 $T(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2})=c_{2}+2c_{3}x$ 输入空间是所有可能的二次幂多项式组合，可以选择 $v_{1}=1, v_{2}=x, v_{3}=x^{2}$ 作为一组基；输出空间则是所有可能的一次幂多项式组合，可以选择 $w_{1}=1, w_{2}=x$ 作为该空间的一组基

那么多项式就可以表示为一个向量，二次幂多项式求导操作可以用以下公式表示

根据上式以及矩阵的乘法法则，可以求出矩阵 $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

在课堂的最后还提到两个定理

如果线性变换是存在「可逆操作」的，则表示该线性变换的矩阵就是可逆的（具有逆矩阵）

两个线性变换的乘积，可以对应于两个矩阵的乘积