L31-线性变换及对应矩阵-习题集

参考

Unit III: Positive Definite Matrices and Applications - Linear Transformations and their Matrices - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on linear transformations and their matrices | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on linear transformations and their matrices | pdf

问题 30.1

变换 $T$ 的作用是将每个点与原点之间的距离翻倍，但是并未改变原点到该点的方向。如果在极坐标系中，则该变换可以表示为 $T(r, \theta)=(2r, \theta)$

请判断变换 $T$ 是否为线性变换？
使用笛卡尔坐标系（ $xy$ ）表示该变换。并将任意向量代入到所求的表达式中，以确保该表达式的确实现了题设的变换效果（将向量的模长翻倍，而不改变向量的方向）
如果第 1 问的回答是「确定」的，则求出该线性变换 $T$ 所对应的矩阵。如果对于第 1 问的回答是「否定」，则解释为什么变换 $T$ 不是线性变换

解答一

该变换 $T$ 是线性变换

从几何角度（向量）来表示该变换 $T(v)=2v$

由于对于任意两个向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 满足以下等式

\begin{aligned} T(v_{1}+v_{2})&=2(v_{1}+v_{2}) \\ &=2v_{1}+2v_{2} \\ &=T(v_{1})+T(v_{2}) \end{aligned}

另外对于任意向量的数乘满足以下等式

\begin{aligned} T(cv)&=2cv \\ &=c2v \\ &=cT(v) \end{aligned}

所以该变换 $T$ 是线性变换

解答二

使用直角坐标系（笛卡尔坐标系）来表示向量，则该线性变换可以表示为 $T(x, y)=(2x, 2y)$

则根据题设，该变换应该是实现向量模长的翻倍

对于向量 $(x, y)$ 其模长为 $\|\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

经过变换后的向量为 $(2x, 2y)$ 其模长为 $\|\begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}\|=\sqrt{(2x)^{2}+(2y)^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2\|\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\|$

所以变换后的向量模长确实翻倍了，则表达式 $T(x, y)=(2x, 2y)$ 是正确的

解答三

变换 $T$ 是线性变换，根据解答二的结果，使用直角坐标系（坐标）表示向量，使用矩阵表示线性变换，可以得到以下等式

A\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}

可以求出矩阵为 $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$

问题 30.2

请举出一个符合规则的变换示例，该变换对于零向量是固定的（即零向量经过变换后不变，依然为零向量），但是它不是线性变换

解答

可以用函数来表示变换

如果变换使用非线性的函数来表示，则可以很容易地举出例子，例如 $T(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} x \\ y^{2} \end{bmatrix}$ ，由于对于向量的数乘所满足的等式为 $T(c\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} cx \\ c^{2}y^{2} \end{bmatrix}$ 所以该变换不是线性变换
如果变换使用简单的函数（线性函数）来表示，则需要采用分段函数来构建满足题设的例子，例如 $T(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} x \\ |y| \end{bmatrix}$ 则对于两个向量相加的结果其变换值为 $T(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ 而这两个向量转换后再相加的结果为 $T(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix})+T(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ 两者并不相同，所以该变换不是线性变换