以下是课程中出现的 the Haar wavelet basis 小波基向量

当两个向量正交则它们的内积 inner product（即点乘 dot product）为零 $x^{T}y=0$ 反之亦然

对于第一个基向量而言，从第二个基向量到第八个基向量分别与之相乘时，求和项中 $1$ 和 $-1$ 的数量都是相等，即结果为零，所以后面的向量都与第一个基向量垂直；对于第二个基向量，也是一样的情况；第三个基向量和后面的基向量相乘，求和项中 $1$ 和 $-1$ 的数量都是相等，还有一些为零的项；依此类推，可以得到 the Haar wavelet basis 小波基向量是相互正交的结论

将以上各个基向量的长度都转换为 $1$（各元素除以原向量的长度），可得标准正交基

• 第一组基 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 第二组基 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},$
• 第三组基 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix},$

其中第一组基应该是最简单常见的。

对于 diagonal matrices 对角矩阵，可以使用第一组基或第三组基来表示更合适，它们都只需要其中两个基的线性组合就可以表示任意对角矩阵，例如 $\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+1\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

对于 triangular matrices 三角矩阵，使用第一组基来表示更合适，只需要采用其中三个基的线性组合就可以表示任意三角矩阵

对于 symmetric matrices 对称矩阵，使用第三组基来表示更合适，只需要采用其中三个基（除去矩阵 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 由于它不是对称矩阵）就可以表示任意对称矩阵