L33-左右逆和伪逆-习题集

参考

Unit III: Positive Definite Matrices and Applications - Left and Right Inverses; Pseudoinverse - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on left and right inverses; pseudoinverse | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on left and right inverses; pseudoinverse | pdf

问题 32.1

求矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 的右逆 right inverse

解答

矩阵 $A$ 行满秩，存在右逆，根据公式可以求出它的右逆 $A_{right}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}$

\begin{aligned} A_{right}^{-1}&=A^{T}(AA^{T})^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix})^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} (\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})^{-1} \end{aligned}

可以通过构建增广矩阵的算法来求解矩阵 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 的逆矩阵，也可以通过逆矩阵的代数表达式 $A^{-1}=\cfrac{1}{detA}C^{T}$ 来求解逆矩阵

可得 $(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})^{-1}=\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

所以矩阵 $A$ 的右逆为

\begin{aligned} A_{right}^{-1}&=A^{T}(AA^{T})^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

可以通过 $AA_{right}^{-1}=I$ 验证运算结果

问题 32.2

矩阵 $A=\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$ 是否存在左逆 left inverse？是否存在右逆 right inverse？是否存在伪逆 pseudoinverse？如果存在请求出具体的矩阵。

解答

由于矩阵 $A$ 的第一行向量与第二行向量线性相关 $2row1=row2$ 所以矩阵 $A$ 的秩为 $r=1$ ，即矩阵 $A$ 行不满秩，且列不满秩，则矩阵没有右逆和左逆。

提示

也可以通过行列式 $detA$ 来判断矩阵是否为可逆矩阵

detA=4 \times 6 - 3 \times 8=24-24=0

假如存在右逆 $A_{right}^{-1}$ ，则根据行列式的特性 9 $detC \cdot detD=det(CD)$ 可得 $detA \cdot det(A_{right}^{-1})=det(AA_{right}^{-1})=detI$ 而 $detA=0$ ，则可得一个矛盾的等式 $0=detI$ ，所以矩阵 $A$ 不存在右逆

证明左逆不存在的步骤类似

矩阵 $A$ 具有伪逆 $A^{+}=V \Sigma^{+} U^{T}$

在 L30-奇异值分解课堂中对矩阵 $A$ 进行了 SVD 奇异值分解，所求得的各部分的矩阵如下

\begin{aligned} A&=U \Sigma V^{T} \\ &= \begin{bmatrix} 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\ 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{125} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & -0.8 \end{bmatrix} \end{aligned}

在矩阵 $A$ 的伪逆表达式中矩阵 $\Sigma^{+}$ 是对角矩阵 $\Sigma$ 的伪逆，可以根据矩阵 $\Sigma$ 得出

\Sigma^{+}= \begin{bmatrix} 1/\sqrt{125} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

所以矩阵 $A$ 的伪逆为

\begin{aligned} A^{+}&=V \Sigma^{+} U^{T} \\ &=\begin{bmatrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & -0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{125} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\ 2/\sqrt{5} & -1/\sqrt{5} \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & -0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/5\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 1/\sqrt{5}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & -0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/25 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \\ &=\cfrac{1}{125} \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}