当矩阵 $A_{m \times n}$ 满秩（行满秩和列满秩 $r=m=n$）时，它具有左右逆 2-sided inverse 且它们是相同的 $A_{left}^{-1}=A_{right}^{-1}$

当矩阵 $A_{m \times n}$ 列满秩时 $r=n<m$，则矩阵存在左逆 left inverse $A_{left}^{-1}$（但不存在右逆，因为行不满秩），它满足 $A_{left}^{-1}A=I$

左逆可以用矩阵 $A$ 及其转置 $A^{-1}$ 所构成的表达式来表示 $A_{left}^{-1}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}$

当矩阵 $A_{m \times n}$ 行满秩时 $r=m<n$，则矩阵存在右逆 right inverse $A_{right}^{-1}$（但不存在左逆，因为列不满秩），它满足 $AA_{right}^{-1}=I$

右逆可以用矩阵 $A$ 及其转置 $A^{-1}$ 所构成的表达式来表示 $A_{right}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}$

根据前面的分析，可知

• 当一个矩阵满秩时 $r=m=n$ 它存在左逆和右逆，则它的零空间和左零空间都只有一个零向量
• 当一个矩阵列满秩时 $r=n$ 它存在左逆，则它的零空间 nullspace 只有一个零向量（即对于方程组 $Ax=0$ 未知数 $x$ 的解只能是零向量）
• 当一个矩阵行满秩时 $r=m$ 它存在右逆，则它的右零空间 left nullspace 只有一个零向量（即对于方程组 $A^{T}y=0$ 未知数 $y$ 的解只能是零向量）

那么当一个矩阵的零空间或左零空间具有非零向量，则表示该矩阵不可逆（没有左逆或右逆），从求解方程组的角度来理解也是一样的

当矩阵 $A_{m \times n}$ 列不满秩且行不满秩时 $r<m, r<n$，则在矩阵 $A$ 的零空间和左零空间中，除了零向量以外，都还存在非零的向量，则矩阵 $A$ 不可逆。可以将零空间存在着非零向量看作是「毁掉」了逆矩阵的存在性。

如果不把零空间（和左零空间）纳入考虑，将矩阵 $A$ 看作仅作用于行空间中的向量，即通过 $Ax$ 将行空间向量 $x$（可逆地）映射到列空间中，则存在矩阵可以实现逆方向的映射，该矩阵称为矩阵 $A$ 的伪逆 pseudoinverse，记作 $A^{+}$

如果将矩阵 $A$ 的映射作用局限/约束在行空间和列空间（向量），则它可以实现 $x \mapsto Ax$ 从行空间到列空间的映射。那么它存在伪逆 $A^{+}$ 可以实现反方向的映射，例如满足 $y=A^{+}(Ay)$