L7-求解 Ax=0 主变量和特解-习题集

参考

问题 7.1

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} 1& 5& 7& 9\\ 0& 4& 1& 7\\ 2& -2& 11&-3 \end{bmatrix} \end{aligned}

矩阵 $A$ 的简化行阶梯矩阵形式 Row Reduce Form

\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} 1& 5& 7& 9\\ 0& 4& 1& 7\\ 2& -2& 11&-3 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} 1& 5& 7& 9\\ 0& 4& 1& 7\\ 0& -12& -3&-21 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} 1& 5& 7& 9\\ 0& 4& 1& 7\\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} 1& 5& 7& 9\\ 0& 1& \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 0& \frac{23}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& {\color{Red}1 }& \frac{1}{4} & \frac{7}{4} \\ 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix} =R \end{aligned}

提示

红色标记是主元

矩阵 $A$ 的秩为 $r=2$

根据零空间矩阵为 $N=\begin{bmatrix}-F\\I\\\end{bmatrix}$ 可得

\begin{aligned} N= \begin{bmatrix} -\frac{23}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4}& -\frac{7}{4} \\ 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以 $Ax=0$ 的特解是

\begin{aligned} \begin{bmatrix} -\frac{23}{4} \\ -\frac{1}{4}\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{7}{4} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

求矩阵 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 使得当矩阵 $B=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$ 时， $rank(A_{1}B)=1$ 和 $rank(A_{2}B)=0$

以矩阵与向量相乘的角度考虑，由于矩阵 $B$ 各元素都是 1，所以 $AB$ 得到的结果矩阵各列都相同：

\begin{aligned} AB= \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ col1 & col2 \\ \vdots & \vdots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ col1+col2 & col1+col2 \\ \vdots & \vdots \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c_{1} & c_{1} \\ c_{2} & c_{2} \\ \vdots & \vdots \\ c_{n} & c_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}

当 $rank(A_{1}B)=1$ 时，表示主元只有一个（红色标注），因此只要矩阵 $A$ 中各行都是（与第一行）线性相关，这样（除了第一行）各行的元素在消元过程中都可以变换为 $\begin{bmatrix}0 & 0\end{bmatrix}$

\begin{aligned} \begin{bmatrix} {\color{RED}c_{1}} & c_{1} \\ \alpha c_{1} & \alpha c_{1} \\ \vdots & \vdots \\ \mu c_{1} & \mu c_{1} \end{bmatrix} \xrightarrow {E} \begin{bmatrix} {\color{RED}c_{1}} & c_{1} \\ 0 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} A_{1}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \alpha a_{1} & \alpha a_{1} \\ \vdots & \vdots \\ \mu a_{1} & \mu a_{1} \end{bmatrix} \end{aligned}

当 $rank(A_{2}B)=0$ 时，表示没有主元，即 $AB$ 的结果矩阵时零向量，因此需要矩阵 $A$ 中两列的对应元素是互为相反数

\begin{aligned} A_{2}= \begin{bmatrix} a_{1} & -a_{1} \\ a_{2} & -a_{2} \\ \vdots & \vdots \\ a_{n} & -a_{n} \end{bmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} A_{2}B= \begin{bmatrix} a_{1} & -a_{1} \\ a_{2} & -a_{2} \\ \vdots & \vdots \\ a_{n} & -a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}