L8-求解 Ax=b 简化行阶梯形式-习题集

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - Solving Ax = b: Row Reduced Form R - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on solving Ax = b and row reduced form R | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on solving Ax = b and row reduced form R | pdf

问题 8.1

解析以下命题的错误

方程组 $Ax=b$ 的所有可能解的形式是 $x_{p}$ 和 $x_{n}$ 的线性组合
方程组 $Ax=b$ 最多只有一个特解
系数矩阵 $A$ 是可逆矩阵，在其组成的方程组 $Ax=0$ 的零空间中没有向量 $x_{n}$

解答 1

特解 $x_{p}$ 满足 $Ax_{p}=b$ ，其系数必须是 $1$ 。它和零空间的向量 $x_{n}$ 组成方程组的所有解的一般形式 $x_{p}+x_{n}$

解答 2

方程组有特解 $x_{p}$ ，结合零空间的向量 $x_{n}$ 所得的 $x_{p}+x_{n}$ 也是一个解

问题 8.2

已知

\begin{aligned} U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \end{aligned}

使用高斯-若尔当能 Gauss–Jordan 消元法将 $\begin{bmatrix} U & 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} U & c \end{bmatrix}$ 化简为 $\begin{bmatrix} R & 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} R & c \end{bmatrix}$ 形式

并求解方程组 $Rx=0$ 和 $Rx=d$

最后通过将方程组的解回代到 $Ux=0$ 和 $Ux=c$ 进行验证

使用高斯-若尔当能 Gauss–Jordan 消元法求解方程组 $Ux=0$ ，其增广矩阵如下

\begin{aligned} \begin{bmatrix} U & 0 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } & 0 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} R & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

所以 $Rx=0$ 为

\begin{aligned} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

得到方程组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} =0\\ x_{3}=0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

自由变量 $x_{2}$ 取为 $1$

则方程组 $Rx=0$ 的其中一个特解为（零空间的维度是 $1$ ，只需要一个特解即可张成零空间）

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1 \\ x_{3} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

将该解带入原方程组 $Ux=0$ 进行验证

\begin{aligned} Ux = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

使用高斯-若尔当能 Gauss–Jordan 消元法求解方程组 $Ux=c$ ，其增广矩阵如下

\begin{aligned} \begin{bmatrix} U & 0 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } & 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} R & d \end{bmatrix} \end{aligned}

所以 $Rx=d$ 为

\begin{aligned} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

得到方程组

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} = -1\\ x_{3} = 2 \end{matrix}\right. \end{aligned}

自由变量 $x_{2}$ 取为 $0$

则方程组 $Rx=d$ 的一个特解为（零空间的维度是 $1$ ，只需要一个特解即可张成零空间）

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1} = -1 \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = 2 \end{matrix}\right. \end{aligned}

将该解带入原方程组 $Ux=c$ 进行验证

\begin{aligned} Ux = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \end{aligned}

问题 8.3

假设 $Ax=b$ 和 $Cx=b$ 对于每一个 $b$ ，都有（完全）相同的解，那 $A=C$ 成立吗？

假设对于所有（维度满足相乘需求的）向量 $y$ 与矩阵 $A$ 相乘 $Ay$ 时，令此时的 $b$ 满足 $Ay=b$ （即反过来 $b$ 随 $y$ 而变，而不是基于 $b$ 的变化求解 $y$ ），则该向量 $y$ 就是方程组 $Ax=b$ 的解。根据题目的假设，此时的向量 $y$ 也是方程组 $Cx=b$ 的解，所以 $Cy=b=Ay$ ，且对于所有 $y$ （和相应的 $b$ ）都满足，因此 $C=A$

L8-求解 Ax=b 简化行阶梯形式-习题集

L8-求解 Ax=b 简化行阶梯形式-习题集

问题 8.1

解答 1

解答 2

解答 3

问题 8.2

问题 8.3

解答