L9-线性无关、基、维度-习题集

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - Independence, Basis and Dimension - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on independence, basis, and dimension | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on independence, basis, and dimension | pdf

问题 9.1

寻找以下向量组中，所有线性独立的子组合中，包含向量的数量最多是多少：

\begin{aligned} \overrightarrow{v_{1}} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{v_{2}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{v_{3}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \overrightarrow{v_{4}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \overrightarrow{v_{5}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \overrightarrow{v_{6}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{aligned}

解答

将所有的向量作为列向量构成一个矩阵，并进行消元变换得到阶梯形式

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Red} 1} & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Red} 1} & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

由于 $rank(A)=3$ 即组成基的向量数量数量是 3 个，而基的向量组是线性独立的，所以在所有线性独立的子组合中，包含向量的数量最多是 3 个。

提示

结合观察也可知 $\overrightarrow v_{4}=\overrightarrow v_{5} - \overrightarrow v_{6}$ ， $\overrightarrow v_{5} = \overrightarrow v_{3} - \overrightarrow v_{1}$ ， $\overrightarrow v_{6} = \overrightarrow v_{3} - \overrightarrow v_{2}$ 即最后三项可以由其他向量的线性组合构成，它们与其他的向量（特别是前三个向量）线性相关性

问题 9.2

在 $\mathbb{R^{3}}$ 空间中有平面 $x-2y+3z=0$

找出该平面的的一种基
找出该平面与 $xy$ 平面相交所产生的向量空间的一种基
找出所有与该平面垂直的向量所组成的向量空间的一种基

解答

解析：由于两个向量就可以张成一个平面，所以该平面的基中所需的向量数量是 2，所以取该平面的两个线性独立的向量即可构成基

\begin{aligned} \overrightarrow v_{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}, \overrightarrow v_{2} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

解析：由于两个非平行的平面相交得到的是一条线，所以该向量空间的基所需的向量数量是 1。由于与平面 $xy$ 相交，所以令方程组中的变量必满足 $z=0$ ，即得到等式 $x-2y=0$ ，取该方程组的一个特解作为基即可

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

解析：由于垂直于平面的向量，它们之间实际上是平行的，所以这些向量构成的向量空间在 $\mathbb{R^{3}}$ 中的维度只有一维，即该向量空间的基所需的向量数量是 1。根据两个垂直向量的点乘为 $0$ ，可以得到以下等式

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} \overrightarrow v_{base} \cdot \overrightarrow v_{1} = 0 \\ \overrightarrow v_{base} \cdot \overrightarrow v_{2} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

假设 $\overrightarrow v_{base} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix}$

即得到

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} 3c_{2}+2c_{3} = 0 \\ -3c_{1}+c_{3} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}

该方程组的一个特解

\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} c_{1} = 1 \\ c_{2} = -2 \\ c_{3} = 3 \end{matrix}\right. \end{aligned}

即其中一个基可以是

\begin{aligned} \overrightarrow v_{base} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}