L10-四种基本子空间-习题集

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L10-四种基本子空间-习题集

参考

问题 10.1

矩阵 Am×nA_{m \times n} 的秩是 rr,假设存在 bb 使得方程组 Ax=bAx=b 无解:

  1. 请问 mmnnrr 之间的关系(使用 <\lt\le 表示)
  2. 对于方程组 ATy=0A^{T}y=0 其非零解的情况(即除了 y=0y=0 的其他解)

解答 1

解析:根据定义可知 rmr \le mrnr \le n,由于存在 bb 使得方程组 Ax=bAx=b 无解,即存在 bb 不在列空间中,所以列空间没有完全覆盖向量空间 Rm\mathbb{R^{m}},所以列空间的维度小于向量空间 Rm\mathbb{R^{m}} 的维度,即 r<mr \lt m

提示

也可以根据 L8-求解Ax=b简化行阶梯形式 总结的方程组 Ax=bAx=b 的解与秩的关系得出,矩阵 AA 的简化阶梯形式 RR 存在元素全为零的行,即行不满秩,因此 r<mr \lt m

解答 2

解析:根据 1 的解析,可知 mr>0m-r>0 即左零空间 N(AT)N(A^{T}) 的维度 mrm-r 大于零,所以方程组 ATy=0A^{T}y=0 的存在非零解

问题 10.2

  1. dd 在矩阵 AA 的哪个基础向量空间中时,方程组 ATy=dA^{T}y=d 有解
  2. 矩阵 AA 的哪个基础向量空间仅含零向量时,方程组 ATy=dA^{T}y=d 有唯一解

解答 1

解析:可以将方程组 ATy=dA^{T}y=d 有解,看作是存在 yy 作为系数,对矩阵 ATA^{T} 的各列进行线性组合可得到向量 dd,即 dd 在矩阵 ATA^{T} 的列空间中 C(AT)C(A^{T}),也就是在矩阵 AA 的行空间中

解答 2

解析:根据向量空间的定义,如果向量空间存在,它必含有零向量。如果方程组 ATy=dA^{T}y=d 有解且是唯一解,则 yy 必为零向量,且只能是零向量,根据左零空间的定义,即矩阵 AA 的左零空间 N(AT)N(A^{T}) 也仅含有零向量。

提示

而此时 dd 也必为零向量,且矩阵 ATA^{T} 各列向量线性无关,它们的线性组合 ATyA^{T}y 无法得出零向量,除非 yy 各元素都为零,即 yy 为零向量。


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