L10-四种基本子空间-习题集

参考

Unit I: Ax = b and the Four Subspaces - The Four Fundamental Subspaces - Check Yourself
题源：Problem: Exercises on independence, basis, and dimension | pdf
参考答案：Solutions: Exercises on independence, basis, and dimension | pdf

问题 10.1

矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩是 $r$ ，假设存在 $b$ 使得方程组 $Ax=b$ 无解：

请问 $m$ 、 $n$ 、 $r$ 之间的关系（使用 $\lt$ 或 $\le$ 表示）
对于方程组 $A^{T}y=0$ 其非零解的情况（即除了 $y=0$ 的其他解）

解答 1

解析：根据定义可知 $r \le m$ 和 $r \le n$ ，由于存在 $b$ 使得方程组 $Ax=b$ 无解，即存在 $b$ 不在列空间中，所以列空间没有完全覆盖向量空间 $\mathbb{R^{m}}$ ，所以列空间的维度小于向量空间 $\mathbb{R^{m}}$ 的维度，即 $r \lt m$

提示

也可以根据 L8-求解Ax=b简化行阶梯形式总结的方程组 $Ax=b$ 的解与秩的关系得出，矩阵 $A$ 的简化阶梯形式 $R$ 存在元素全为零的行，即行不满秩，因此 $r \lt m$

解答 2

解析：根据 1 的解析，可知 $m-r>0$ 即左零空间 $N(A^{T})$ 的维度 $m-r$ 大于零，所以方程组 $A^{T}y=0$ 的存在非零解

问题 10.2

当 $d$ 在矩阵 $A$ 的哪个基础向量空间中时，方程组 $A^{T}y=d$ 有解
矩阵 $A$ 的哪个基础向量空间仅含零向量时，方程组 $A^{T}y=d$ 有唯一解

解答 1

解析：可以将方程组 $A^{T}y=d$ 有解，看作是存在 $y$ 作为系数，对矩阵 $A^{T}$ 的各列进行线性组合可得到向量 $d$ ，即 $d$ 在矩阵 $A^{T}$ 的列空间中 $C(A^{T})$ ，也就是在矩阵 $A$ 的行空间中

解答 2

解析：根据向量空间的定义，如果向量空间存在，它必含有零向量。如果方程组 $A^{T}y=d$ 有解且是唯一解，则 $y$ 必为零向量，且只能是零向量，根据左零空间的定义，即矩阵 $A$ 的左零空间 $N(A^{T})$ 也仅含有零向量。

提示

而此时 $d$ 也必为零向量，且矩阵 $A^{T}$ 各列向量线性无关，它们的线性组合 $A^{T}y$ 无法得出零向量，除非 $y$ 各元素都为零，即 $y$ 为零向量。