已知方程组 $Ax=b$ 如下

写成矩阵的形式

使用消元法求解方程组 $Ax=b$ 需要构建增广矩阵

当方程组有解时（三个等式都满足），由最后一行得到 $0=b_{3}-b_{2}-b_{1}$ 成立，即 $b_{3}=b_{1}+b_{2}$

若取

则增广矩阵为

使用消元法求解方程组 $A_{m \times n}x=b$ ，其可解性 solvability 可以从方程组右侧的 $b$ 向量考虑：

• 列角度：将 $b$ 看作是系数矩阵 $A$ 各列基于 $x$ 的线性组合，如果这个角度考虑，那么当方程组有解时，则 $b$ 必须在系数矩阵 $A$ 所构成的列空间 $C(A)$ 中
• 行角度：若系数矩阵 $A$ 在消元过程中存在某行各元素均为零，则相应地在增广矩阵中该行的 $b$ 的组合也要是零

为了便于讨论方程组的可解性，引入秩 $r$ 这一概念（它是指在阶梯形式的矩阵中，矩阵的主元数量）

满秩 full rank 指各行或各列上都有主元，对于矩阵 $A_{m \times n}$ 有两种情况：

• 当 $r=n$ 时，列满秩
• 当 $r=m$ 时，行满秩

当秩满足不同条件时，方程组有不同的解。

行满秩

当行满秩 $r=m<n$ 时，每一行都有一个主元，则自由变量的自由度为 $n-r=n-m$

例如方程组 $Ax=b$

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

消元法求解方程组（为了演示简便，增广矩阵省略 b 部分），在系数矩阵的简化行阶梯形式中 $f_{n}$ 表示自由变量所对应的系数

$$\begin{aligned} A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} 1 & 0 & f_{1} & f_{2} \\ 0 & 1 & f_{3} & f_{4} \end{bmatrix} &=R \end{aligned}$$

根据 L7-求解 Ax=0 主变量和特解 这一节可知方程组 $Ax=0$ 的零空间是 $N=\begin{bmatrix}-F \\ I\end{bmatrix}$，（通过确定自由变量的值后）可以方便地得到 $Ax=0$ 所有解的形式是 $x_{n}$

此时方程组 $Ax=b$ 必有解，且是无限个，其形式是 $x=x_{p}+x_{n}$。

其中 $x_{n}$ 表示方程组 $Ax=0$ 的解所构成零空间 $N(A)$，它作为基础解系，只需要再结合方程组 $Ax=b$ 其中任意一个特解 $x_{p}$（可以将该特解的作用看作是一个平移向量，将方程组 $Ax=0$ 的解所构成零空间 $N(A)$ 平移到方程组 $Ax=b$ 的解构成的向量空间）

说明

由于行满秩，在简化行阶梯形式中系数矩阵不存在一整行的元素全为 $0$ 的情况，而由于自由变量是可变动的，因此对于方程组 $Ax=b$ 无论 $b$ 取任意值都有解

在前面消元那一小节中，求解的方程组 $Ax=b$ 得到了阶梯形式

所以该矩阵并不满秩

根据前一小节对可解性的讨论可知，在不满秩情况下，方程组是否有解由 $b$ 决定

观察这个示例的增广矩阵，它的最后一行的 $b$ 可使得等式成立，因此该方程组有无数个解

• 求出特解 $x_{p}$
  令所有自由变量为 $0$ $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{2} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  回代入增广矩阵可得 $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{3}=1 \\ 2x_{3}=3 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
  可得其中一个特解 $x_{p}$ $$\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x_{1} = -2 \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = \frac{3}{2} \\ x_{4} = 0 \end{matrix}\right. \end{aligned}$$
• 以方程组 $Ax=0$ 的零空间 $N(A)$ 作为基础解系
  求出系数矩阵的简化行阶梯形式 $$\begin{aligned} A \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & {\color{Red}2 } & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{E} \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & {\color{Red}1 } & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & = R \end{aligned}$$
  根据 $$\begin{aligned} Rx = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix} & = 0 \Rightarrow N= \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} \end{aligned}$$
  先将简化行阶梯形式 $R$ 进行改写 $$\begin{aligned} R^{'}= \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 0 & 2 & -2 \\ 0 & {\color{Red}1 } & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
  即 $$\begin{aligned} R^{'}x= \begin{bmatrix} {\color{Red}1 } & 0 & 2 & -2 \\ 0 & {\color{Red}1 } & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{3} \\ x_{2} \\ x_{4} \end{bmatrix} & = 0 \end{aligned}$$
  可得 $$\begin{aligned} N = \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
  因此方程组 $Ax=0$ 的两个特解是（相应地需要调换位置以对应原向量中 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 的顺序） $$\begin{aligned} x_{p1} = \begin{bmatrix} -2 \\ {\color{Green}1 } \\ {\color{Green}0 } \\ 0 \end{bmatrix} , x_{p2} = \begin{bmatrix} -2 \\ {\color{Green}0 } \\ {\color{Green}-2 } \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
  因此方程组 $Ax=0$ 的解所构成的零空间是 $$\begin{aligned} N(A) = \alpha \begin{bmatrix} -2 \\ {\color{Green}1 } \\ {\color{Green}0 } \\ 0 \end{bmatrix} & + \beta \begin{bmatrix} -2 \\ {\color{Green}0 } \\ {\color{Green}-2 } \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
  提示

  方程组 $Ax=0$ 的零空间维度为 2，需要两个特解张成

将方程组 $Ax=b$ 一个特定的解 $x_{p}$ 和方程组 $Ax=0$ 的所有解 $x_{n}$ 结合，就是方程组 $Ax=b$ 的通解，即满足以下等式

即对于方程组 $Ax=b$， 其中 $\begin{aligned} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\end{aligned}$，它有无数个解，其任意解/通解的形式是