L18-行列式及其性质

参考

Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues - Properties of Determinants | pdf
课本章节：Read Section 5.1 in the 4^th or 5^th edition.
练习题：L18-行列式及其性质-习题集

行列式 determinant 是一个与矩阵相关的数字，写作 $detA$ 或 $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$

注意

行列式是一个数字，可以理解为将矩阵相关的信息「压缩」/编码进一个数字

例如矩阵的可逆性和行列式的关系

矩阵是可逆的 invertible $\Leftrightarrow$ 行列式非零
矩阵是奇异的 singular $\Leftrightarrow$ 行列式为零

在研究矩阵的可逆性时，一般针对的是方阵

因为在前面章节所介绍的求解逆矩阵算法只能针对方阵，因为要将原矩阵与单位矩阵构造为一个增广矩阵，所以需要保证它们的维度相匹配。

所以课程前半部分主要研究的是 「长方形」的矩阵（研究方程组的消元求解，并讨论它们的有解性）；而课程接下来的部分将聚焦讨论方阵，关于矩阵的行列式和特征值。

课堂上先展示了一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $A$ 的行列式通用表达式

A_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

其行列式的通用表达式是

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= ad-cb

然后再介绍一系列关于行列式的特定，还有求解一般矩阵的行列式的算法

特性一

单位矩阵的行列式为 $1$

detI=1

例如对于一个 $2 \times 2$ 单位矩阵其行列式为 $1$

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1

特性二

如果交行矩阵的两行，则行列式的正负符号会改变

即矩阵 $A$ 通过行交换得到矩阵 $A^{\prime}$ ，如果行交换的次数为 $n$ ，则 $\begin{vmatrix} A^{\prime} \end{vmatrix} = (-1)^{n} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

行列式 $\begin{vmatrix} A^{\prime} \end{vmatrix}$ 和行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 是相关的，只是符号不同，由行交换的次数的奇偶决定

例如对于置换矩阵 $P_{1, 2}$

P_{1, 2}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

由于置换矩阵 $P_{1, 2}$ 可以看作由单位矩阵 $I_{2 \times 2}$ 的第一行和第二行进行调换（行交换次数为 $1$ 次）而得的

则根据特性一和特性二可知 $\begin{vmatrix} P_{1, 2} \end{vmatrix}=-1$

提示

根据特性一和特性二可以从单位矩阵 $detI=1$ 推导出一系列相应的置换矩阵的行列式的值

$detP=1$ （偶数次行变换）或 $detP=-1$ （奇数次行变换）

置换矩阵的行列式的正负值，取决于由单位矩阵变换为置换矩阵时，所需要行变换次数的奇偶性

特性三

该特性分为两小条，主要针对矩阵的某一行的操作（数乘或相加），则所得的新矩阵的行列式和原矩阵的行列式的关系

这两条特性让行列式看起来像一个线性函数

特性三之一

如果矩阵的其中一行数乘 $t$ （其他行保持不变），则所得的矩阵的行列式为原矩阵的行列式的 $t$ 倍

例如对于一个 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix}= t \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

特性三之二

在矩阵的其中一行进行相加操作（其他行保持不变），则所得的矩阵的行列式可以进行相应的拆分

例如对于一个 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{vmatrix} a+a^{\prime} & b+b^{\prime} \\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a^{\prime} & b^{\prime} \\ c & d \end{vmatrix}

注意

以上两条特性都是针对矩阵的一行的操作，而不是整个矩阵

即 $det(tA) \ne tdetA$ 以及 $det(A+B) \ne detA + detB$

通过特性一、特性二、特性三（作为基础特性）可以推导出以下更多的特性

特性四

如果矩阵有两行相等，则行列式为 $0$

证明

如果对矩阵 $A$ 中相同的两行进行互换，得到矩阵 $A^{\prime}$

则根据特性二可知 $\begin{vmatrix} A^{\prime} \end{vmatrix}=- \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

但是因为交换的两行是相同的，所以行交换后所得的矩阵和原矩阵其实是一模一样的 $A=A^{\prime}$ ，所以它们的行列式也是相同的 $\begin{vmatrix} A^{\prime} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

需要让前面的两个关于行列式的等式同时成立，则行列式只能为 $0$

即 $\begin{vmatrix} A^{\prime} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

特性五

如果将矩阵的第 $j$ 行减去 $k$ 倍的第 $i$ 行，其中 $i \ne j$ ，则所得的矩阵的行列式不变

证明

可以通过特性三和特性四来证明

例如对于 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{vmatrix} a & b \\ c-ta & d-tb \end{vmatrix}

以上矩阵的元素构成形式常见于消元变换的步骤中

根据特性三之二可得

\begin{vmatrix} a & b \\ c-ta & d-tb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} a & b \\ ta & tb \end{vmatrix}

再根据特性三之一可得

\begin{vmatrix} a & b \\ c-ta & d-tb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} a & b \\ ta & tb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}-t \begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix}

再根据特性四可得

\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix}=0

所以化简可得

\begin{vmatrix} a & b \\ c-ta & d-tb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

这个特性对于求解一般矩阵很常用，因为在求解一般矩阵的行列式的算法中，需要先通过消元变换将其转换为三角矩阵（再通过三角矩阵的对角线上各元素的乘积，求得行列式）

而根据该特性，可知消元变换对行列式的值不影响，所以转换所得的三角矩阵的行列式和原矩阵的行列式相同

特性六

如果矩阵中具有一行元素全为零，则行列式为 $0$

证明

可以通过特性三之一来证明

例如对于以下矩阵的行列式

\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{vmatrix}

可以将第一行看作乘上了倍数 $t=0$

则根据特性三之一可得

\begin{vmatrix} t \cdot 0 & t \cdot 0 \\ c & d \end{vmatrix}=t \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{vmatrix}=0

这个特性也和矩阵的可逆性一致，如果消元变换时，矩阵的一行出现全为 $0$ 的情况，意味着这一行没有主元，则原矩阵就是不可逆的

特性七

三角矩阵 triangular matrix 的行列式为对角线上各元素（主元 pivot）的乘积

注意适用前提

在应用该特性时，有一个重要的前提，就是三角矩阵的主元 $d_{i}$ 需要均为非零（行满秩）

因为当主元为零时，可以再进行消元变换将该行变成全为零，这种情况下行列式为零

证明

该特性对于上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵都是适合的

其实上三角矩阵和下三角矩阵可以通过进一步的消元变换（根据特性五可知消元变换对行列式的值不影响）得到对角矩阵

例如对于以下的上三角矩阵

\begin{vmatrix} U \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} d_{1} & \ast & \ast & \dots & \ast & \ast \\ 0 & d_{2} & \ast & \dots & \ast & \ast \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & \ast & \ast \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & d_{n-1} & \ast \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{n} \\ \end{vmatrix}

如果需要消除倒数第二行的最后一个元素，可以通过将第 $n-1$ 行减去（特定的倍数）第 $n$ 来实现（同时保持该行的主元素不变）

并以此类推，最后得到对角矩阵（而且对角线上的元素保持不变）

\begin{vmatrix} U \end{vmatrix} \xrightarrow{E} \begin{vmatrix} d_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & d_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{n} \\ \end{vmatrix}

然后再根据特性三之一可以得到对角矩阵的行列式

\begin{aligned} \begin{vmatrix} D \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} d_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & d_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{n} \\ \end{vmatrix} \\ &=d_{1} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & d_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{n} \\ \end{vmatrix} \\ &=d_{1} d_{2} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & d_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{n} \\ \end{vmatrix} \\ &=d_{1} d_{2} \dots d_{n} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \end{aligned}

再根据特性一可知单位矩阵的行列式 $detI=1$

所以可得上三角矩阵的行列式为 $detU=d_{1} d_{2} \dots d_{n}$

通过类似的步骤同样可以求出下三角矩阵的行列式 $detL=d_{1} d_{2} \dots d_{n}$ 而根据下三角矩阵的定义，它的对角线上的元素都为 $1$ ，所以下三角矩阵 $L$ 的行列式实际上就是 $1$

特性八

当矩阵为奇异矩阵/不可逆矩阵时，它的行列式为 $0$

证明

当矩阵 $A$ 是奇异的/不可逆的，则必有两行是线性相关的，所以通过消元转换可以得到一行全为零，根据特性六可知行列式为 $0$
当矩阵 $A$ 是可逆的，则通过消元变换可得 $A \xrightarrow{E} U$ 上三角矩阵对角线上各元素（主元 pivots）均为非零（行满秩），根据特性七可知行列式为 $d_{1} d_{2} \dots d_{n} \ne 0$

根据以上的一系列特性，可以总结出一般的矩阵（方阵）的行列式求解算法：

通过消元变换将一般的矩阵 $A$ 转换上三角矩阵 $U$ （记录是否进行了交换，以及交换的次数）
上三角矩阵的对角线上的元素（主元 pivots）乘积就是行列式的值（根据行交换的次数的奇偶性来决定正负符号）

例如对于一些 $2 \times 2$ 矩阵

A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

通过消元转换可以得到上三角矩阵

A \xrightarrow{E} U= \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d-\frac{c}{a} b \end{bmatrix}

根据特性七可知行列式为

\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}= a(d-\frac{c}{a} b)=ad-cb

该等式和本课程开始所展示的 $2 \times 2$ 矩阵的行列式公式一致

注意

需要留意在 $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} \xrightarrow{E} \begin{vmatrix}U\end{vmatrix}$ 消元转换的过程中，是否（通过置换矩阵）进行了行互换操作，根据特性二会影响行列式的符号

特性九

两个矩阵相乘，所得的矩阵的行列式是原来的两个矩阵的行列式的乘积

det(AB)=(detA)(detB)

区分

并不满足矩阵相加 $det(A+B) \ne (detA)+(detB)$
数乘的形式不同 $det(tA) = t^{n}detA$
其中 $t$ 是系数，它与整个矩阵（各元素）相乘
由于矩阵 $A$ 每一行都乘以系数 $t$ ，根据特性三之一可以将每一行的公因子 $t$ 依次提取出来，共有 $t^{n}$
所以 $det(tA) = t^{n}detA$

例如求解逆矩阵的行列式 $det(A^{-1})$

由于 $A^{-1}A=I$ 根据特性一可得 $det(A^{-1}A)=detI=1$

所以 $detA^{-1}=\frac{1}{detA}$

特性十

转置矩阵的行列式和原来矩阵的行列式一样

detA^{T}=detA

证明

由于矩阵 $A$ 可以变换为 $LU$ 两个三角矩阵相乘的形式，所以置换矩阵 $A^{T}$ 可以变换为 $U^{T}L^{T}$

那么要证明 $\begin{vmatrix} A^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

其实等价于要证明 $\begin{vmatrix} U^{T}L^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} LU \end{vmatrix}$

根据特性一可知等价于要证明 $\begin{vmatrix} U^{T} \end{vmatrix} \begin{vmatrix}L^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} L \end{vmatrix} \begin{vmatrix} U \end{vmatrix}$

根据特性一可知上三角矩阵的行列式 $\begin{vmatrix} U \end{vmatrix}$ 为它的对角线上的元素（主元 pivots）乘积

其实是将上三角矩阵 $U$ 通过消元转换为对角矩阵 $D$ ，再求出行列式；而上三角矩阵的转置 $U^{T}$ 同样也是可以通过消元变换得到对角矩阵（对角线上的元素保持不变），所以 $\begin{vmatrix} U^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} U \end{vmatrix}$

类似地，下三角矩阵及其转置矩阵也是相等的 $\begin{vmatrix} L^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} L \end{vmatrix}$ （实际上 $\begin{vmatrix} L^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} L \end{vmatrix}=1$ ）

所以 $\begin{vmatrix} U^{T} \end{vmatrix} \begin{vmatrix}L^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} L \end{vmatrix} \begin{vmatrix} U \end{vmatrix}$ 即 $\begin{vmatrix} A^{T} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

由于转置操作并不改变行列式，即转置矩阵的行列式和原来矩阵的行列式一样，所以特性二、特性三、特性四、特性五、特性六对于矩阵的列也是适合的

例如可以通过观察一个矩阵行或列，如果存在一行或一列的元素全为 $0$ ，则该矩阵的行列式为 $0$