L19-行列式公式和代数余子式

参考

Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues - Determinant Formulas and Cofactors | pdf
课本章节：Read Section 5.2 in the 4^th or 5^th edition.
练习题：L19-行列式公式和代数余子式-习题集

这一节课主要讨论三个主题：

行列式的通用求解公式 "big" formula
代数余子式 cofactors formula
三对角矩阵 Tridiagonal Matrix 行列式的规律

行列式求解公式

可以基于行列式的一系列特性得到**「展开」行列式**的通用方法，即把复杂的矩阵的行列式，展开为一系列简单矩阵的行列式

例如对于 $2 \times 2$ 矩阵

根据行列式的特性三之二可以将矩阵的第一行进行线性组合式的「拆解」（保持第二行不变）

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a+0 & 0+b \\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \end{vmatrix}

同理可以继续对这些矩阵进一步「拆解」，得到多个包含大量以零作为元素的矩阵

\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a & {\color{Red}0 } \\ c & {\color{Red}0 } \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} {\color{Red}0 } & b \\ {\color{Red}0 } & d \end{vmatrix} \\ \end{aligned}

通过观察可以知道「拆解」得到的一些矩阵（带有红色标记）是奇异的/不可逆的，或根据行列式的特性六可知它们的行列式为 $0$

所以可以进一步化简

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix}

对于 $3 \times 3$ 矩阵可以使用同样的算法进行拆分，简略步骤如下

\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=& \begin{vmatrix} a_{1{\color{red} 1}} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2{\color{red} 2}} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3{\color{red} 3}} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{1{\color{red} 1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{2{\color{red} 3}} \\ 0 & a_{3{\color{red} 2}} & 0 \end{vmatrix} \\ +& \begin{vmatrix} 0 & a_{1{\color{red} 2}} & 0 \\ 0 & 0 & a_{2{\color{red} 3}} \\ a_{3{\color{red} 1}} & 0 & 0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & a_{1{\color{red} 2}} & 0 \\ a_{2{\color{red} 1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{3{\color{red} 3}} \end{vmatrix} \\ +& \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{1{\color{red} 3}} \\ a_{2{\color{red} 1}} & 0 & 0 \\ 0 & a_{3{\color{red} 2}} & 0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{1{\color{red} 3}} \\ 0 & a_{2{\color{red} 2}} & 0 \\ a_{3{\color{red} 1}} & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{aligned}

可以发现在最终的表达式中「幸存」矩阵（它们的行列式为非零），每一行的非零元素的列标都不同，而且为完成的 $1, 2, 3$ 组合，只是顺序不同

提示

结合 $2 \times 2$ 矩阵和 $3 \times 3$ 矩阵的例子，可以知道这些行列式为非零的「展开」矩阵/「幸存」矩阵有一个特点：矩阵的每一行、每一列都有一个元素，即不存在全为零的行或列（否则这样的矩阵的行列式就是零），就像置换矩阵的构造一样

然后对于这些「幸存」矩阵，可以再通过行交换（留意交换的次数，决定行列式的符号正负值）得到三角矩阵，再利用特性七求出行列式的最终值

例如对于以上 $3 \times 3$ 矩阵，可以求出最终的行列式表达式

\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ =&a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \\ &-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{21}a_{33} \\ &+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{aligned}

根据前面的两个示例的求解算法，可以推导出 $A_{n \times n}$ 矩阵行列式的通用公式

detA=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha }a_{2\beta }a_{3\gamma }\dots a_{n\omega }

其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 、 $\dots$ 、 $\omega$ 互不相同，而且它们是 $1, 2, 3, \dots, n$ 的某种排列（因为它们分别表示在从每一行取一个元素的列下标，需要保证对应的列并不重复）

这些求和的式子中，其正负值各占一半，具体哪一项是正，哪一项是负，可以直接观察如果将该项的元素的列标变成 $1, 2, 3, \dots, n$ 的顺序，需要调换元素多少次（即将矩阵变成对角矩阵），如果是奇数次则该项为负，否则为正

说明

通用公式里共有 $n!$ 项相加，可以根据前面两个示例的具体求解步骤来理解

这个等式里面的每个相加项，其实都是从每一行中挑选出一个元素作为因子而构成的，而且要保证它们的列下标不能相同

那么从排列组合的角度来考虑：

首先从第一行开始挑选一个元素，那么就有 $n$ 种挑选的方法
当第一行所挑选的一个元素位于第 $\alpha$ 列，那么在挑选第二行的一个元素时，就不能挑选该列的元素，所以对于第二行而言，共有 $n-1$ 种方法挑选出一个元素
依次类推，对于第三行而言，共有 $n-2$ 种方法挑选出一个元素
直至最后一行，仅有 $1$ 种可选的方法

所以综合可得，从每一个行选区一个元素相乘，共有 $n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots 1 = n!$ 种组合方式，所以共有 $n!$ 个式子相加求和

另外根据上述的求和各项前面的正负号判定规则，可以与 置换矩阵 $P$ 相关联

所以就矩阵的行列式的通用公式也可以表示为

detA=\sum_{n!}(detP_{\alpha, \beta, \gamma, \dots, \omega}) a_{1\alpha }a_{2\beta }a_{3\gamma }\dots a_{n\omega }

应用行列式的通用公式求解以下矩阵

\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\

行列式的通用公式是从每一行挑选一个元素相乘（这些元素的列下标不能重复），并将它们相加

由于以上示例中的矩阵有大量的 $0$ ，挑选这些元素得到的相乘结果也为 $0$ ，所以可以进一步简化求解的规则，即从每一行挑选一个非零元素相乘（且列下标不能重复）

\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ =a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}+a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}

再观察各因式的列标顺序，第一个因式各元素的列标为 $(4, 3, 2, 1)$ ，如果要将各元素进行调换使得列标顺序变成 $(1， 2， 3， 4)$ 则需要 $2$ 次（偶数次）调换，所以该因式是正；同理，对于第二个因式各元素的列标为 $(3, 2, 1, 4)$ ，只需要 $1$ 次（奇数次）调换，所以该因式为负，所以上式为

\begin{aligned} &\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ =&a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}+a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} \\ =&1+({\color{Red} -}1) \\ =&0 \end{aligned}

验证

观察示例中的矩阵可知 $row1-row2+row3=row4$ ，即该矩阵各行向量并不是相互独立的

由于该矩阵是不可逆的，所以它的行列式就是 $0$ ，这与使用行列式通用公式求出的值一致

代数余子式

代数余子式 Cofactor 可以将复杂的矩阵行列式通用表达式进行「化简」，写成由更小的矩形的行列式构成的形式

例如对于前面的 $3 \times 3$ 矩阵的例子，如果以位于第一行的元素为公因子，对求和式子进行合并，可以得到以下形式

\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ =&a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \\ &-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{21}a_{33} \\ &+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ =&{\color{Blue}a_{11} }{\color{Green}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})} \\ &+{\color{Blue}a_{12} }{\color{Green}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})} \\ &+{\color{Blue}a_{13} }{\color{Green}(-a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})} \end{aligned}

以上操作从运算转换的角度而言，就是执行了提取公因式操作；如果将这些元素与它们在矩阵的位置相对应，那么变换所得的式子可以理解为，每一个求和项的公因子 $a_{1\alpha}$ 是从第一行选取了特定的一个元素后，而余下的式子是其他行的元素的所有可能的选取情况的合集（需要保证这些元素的列下标不相同），这个表达式（绿色标记）就是代数余子式

其实这个相乘的表达式/代数余子式 cofactor 是一个矩阵的行列式，而这个矩阵是从原矩阵剔除了公因子 $a_{1\alpha}$ 所在的行和列后，剩余的元素所构成的 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵

对于 ${\color{Blue}a_{11} }{\color{Green}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})}$ 这个式子，可以将原矩阵看作如下结构

\begin{vmatrix} {\color{Blue} a_{11}} & {\color{Red} \otimes } & {\color{Red} \otimes } \\ {\color{Red} \otimes } & {\color{Green} a_{22}} & {\color{Green} a_{23}} \\ {\color{Red} \otimes } & {\color{Green} a_{32}} & {\color{Green} a_{33}} \end{vmatrix}

解释

当选取了第一行的 ${\color{Blue} a_{11}}$ 元素作为公因子时，则第一行和第一列的元素都被剔除了，剩下的元素构成矩阵，而该矩阵的行列式正好就是 ${\color{Green}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})}$ 作为余下相乘的表达式

对于 ${\color{Blue}a_{12} }{\color{Green}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})}$ 其示意图如下

\begin{vmatrix} {\color{Red} \otimes} & {\color{Blue} a_{12}} & {\color{Red} \otimes} \\ {\color{Green} a_{21}} & {\color{Red} \otimes } & {\color{Green} a_{23}} \\ {\color{Green} a_{31}} & {\color{Red} \otimes } & {\color{Green} a_{33}} \end{vmatrix}

对于 ${\color{Blue}a_{13} }{\color{Green}(-a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})}$ 其示意图如下

\begin{vmatrix} {\color{Red} \otimes} & {\color{Red} \otimes} & {\color{Blue} a_{13}} \\ {\color{Green} a_{21}} & {\color{Green} a_{22}} & {\color{Red} \otimes } \\ {\color{Green} a_{31}} & {\color{Green} a_{32}} & {\color{Red} \otimes } \end{vmatrix}

用 $C_{1j}$ 来表示代数余子式，则以上的式子可以表示为

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}

其实并不需要以第一行的元素作为公因子来合并式子，可以从任意一行的元素开始入手

例如针对第 $i$ 行的元素，如果选取了第 $j$ 列的元素 $a_{ij}$ ，那么代数余子式 $C_{ij}$ 就是指从原矩阵剔除了 $a_{ij}$ 这个元素所在的行和列后，剩余的元素所构成的 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵的行列式

即 $C_{ij}=\pm detA_{(n-1) \times (n-1)}$ 其中 $A_{(n-1) \times (n-1)}$ 是原矩阵 $A$ 抹去第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余元素构成的矩阵。而这个式子的符号的正负由 $i+j$ 的奇偶性决定，当 $i+j$ 为奇数时取负；当 $i+j$ 为偶数时取正

虽然这个变换看似简单，但是从降低矩阵的维度复杂度而言代数余子式的十分有用，即可以将一个 $n$ 阶矩阵的行列式，展开为一系列 $(n-1)$ 阶矩阵的行列式；而对于每一个 $(n-1)$ 阶矩的行列式，则可以再进一步展开为一系列的 $(n-2)$ 阶矩阵的行列式；依此类推可以继续展开（但是式子会越来越长）

使用代数余子式求解以下矩阵的行列式

\begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

三对角矩阵

以上矩阵称为三对角矩阵 tridiagonal matrix

这种矩阵具有特殊的形式，矩阵中非零的元素只位于对角线上或对角线相邻的位置上

首先求出低阶的三对角矩阵的行列式的值

\begin{vmatrix}A_{1 \times 1}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}=1

\begin{vmatrix}A_{2 \times 2}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0

\begin{aligned} \begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix}&= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ &={\color{Blue} a_{11}} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} {\color{Red} -}{\color{Blue} a_{12}} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &=0{\color{Red} -}1=-1 \end{aligned}

然后使用代数余子式，将 $4 \times 4$ 矩阵的行列式展开为一系列低阶矩阵的行列式

\begin{aligned} \begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix}&= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &={\color{Blue} a_{11}} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} {\color{Red} -}{\color{Blue} a_{12}} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ &={\color{Blue} a_{11}}\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix}{\color{Red} -}{\color{Blue} a_{12}} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{aligned}

对于上式的第二个求和项中的低阶矩阵，可以进一步使用代数余子式展开

\begin{aligned} \begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix}&= {\color{Blue} a_{11}}\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix} -{\color{Blue} a_{12}} \begin{vmatrix} {\color{Red} 1} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ &={\color{Blue} a_{11}}\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix} -{\color{Blue} a_{12}} \times {\color{Red} 1} \times \begin{vmatrix}A_{2 \times 2}\end{vmatrix} \\ &=-1-0=-1 \end{aligned}

其实对于各种维度的三对角矩阵 tridiagonal matrix 它们的行列式是具有规律的（递推公式）

\begin{vmatrix}A_{n \times n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{n-1 \times n-1}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{n-2 \times n-2}\end{vmatrix}

可以通过以上例子验证这个公式

\begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix}=-1=\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{2 \times 2}\end{vmatrix}=-1-0=-1

\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix}=-1=\begin{vmatrix}A_{2 \times 2}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{1 \times 1}\end{vmatrix}=0-1=-1

利用该递推公式和前面求出的一系列低阶的三对角矩阵的行列式，可以求出高阶的三对角矩阵的行列式

\begin{vmatrix}A_{5 \times 5}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{3 \times 3}\end{vmatrix}=-1-（-1）=0

\begin{vmatrix}A_{6 \times 6}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{5 \times 5}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{4 \times 4}\end{vmatrix}=0-（-1）=1

依次类推，可以发现三对角矩阵的行列式是具有周期性的，（矩阵从低维度到高维度的）行列式依次为 $1, 0, -1, -1, 0, 1$ 周期为 $6$